Fällt ein Körper mit Lichtgeschwindigkeit in ein schw. Loch?


Die Relativitätstheorie basiert auf dem Relativitätsprinzip von Galileo. Hier ist Raum, Fragen zur Relativität zur diskutieren.

Proton

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Beitrag Mo 13. Mär 2017, 22:18

Re:

Bernhard hat geschrieben:Da kann ich momentan nicht folgen.

Vielleicht habe ich den Faden bzgl. Faktor 2 verloren. Ging es zuletzt nicht um die Frage $a^r=-\frac{c^2(2GM)}{r^3}V^r$ (mit $r_s=2GM)$ oder $a^r=-\frac{c^2(GM)}{r^3}V^r$?

Zur Erinnerung:

Ich hat geschrieben:Ich muss mich korrigieren: Die Gleichung, die ich gefunden habe ist a = -(GM/r³)d, nicht a = -(2GM/r³)d. Ich hatte das aus dem Gedächtnis falsch wiedergegeben.

Anti-Neutron

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Beitrag Di 14. Mär 2017, 06:44

Timm hat geschrieben:Vielleicht habe ich den Faden bzgl. Faktor 2 verloren.

Man kann die Gezeitenkräfte in verschiedenen Richtungen betrachten. Entlang der Koordinate theta und phi, also senkrecht zur radialen Richtung entlang r, haben wir vom Betrag her die halbe Kraft, wie in radialer Richtung, also
a^r=-rS*c^2/r^3* $\Delta r$
Es werden dabei zwei Ereignisse betrachtet, die im frei fallenden System gleichzeitig sind und bezüglich der Koordinate r den Abstand $\Delta r$ haben.

Für die Kräfte entlang der theta- und phi-Richtung haben wir:
$a^{\theta}=\frac{c^2(GM)}{r^3}V^{\theta}$
$a^{\phi}=\frac{c^2(GM)}{r^3}V^{\phi}$

Alle räumlichen Abstände werden hier immer im System des unendlich weit entfernten Beobachters gemessen.
Freundliche Grüße, B.

Ich

Anti-Proton

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Beitrag Di 14. Mär 2017, 08:46

Re: Re:

Timm hat geschrieben:Vielleicht habe ich den Faden bzgl. Faktor 2 verloren.
Sorry, ich hatte den Faden verloren. Ich hab' nur nach der "2" geschaut, dabei ist die ja in rs=2GM. Passt schon alles.

Proton

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Beitrag Di 14. Mär 2017, 09:32

Re: Re:

Ich hat geschrieben: Ich hab' nur nach der "2" geschaut, dabei ist die ja in rs=2GM.

Ja, das hatte ich vermutet.

Proton

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Beitrag Di 14. Mär 2017, 11:36

Re:

Bernhard hat geschrieben:Alle räumlichen Abstände werden hier immer im System des unendlich weit entfernten Beobachters gemessen.

Das heißt aber doch, daß für diesen ein radiales $\Delta r$ bei Annäherung an den EH gegen Null geht und damit auch die Gezeitenbeschleunigung (hier Koordinatenbeschleunigung).

Nach 'Ich' 16.2. verhalten sich Koordinatenbeschleunigung zu Eigenbeschleunigung wie Koordinatenabstand zu Eigenabstand, was aber wenn ich es richtig sehe, bei Annäherung an den EH nicht gelten kann. Der thread ist inzwischen ziemlich lang, hatten wie denn eine Gleichung, die Eigenbeschleunigung und Eigenabstand strikt, also auch am EH gültig, beschreibt?

Anti-Neutron

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Beitrag Di 14. Mär 2017, 13:24

Timm hat geschrieben:Nach 'Ich' 16.2. verhalten sich Koordinatenbeschleunigung zu Eigenbeschleunigung wie Koordinatenabstand zu Eigenabstand

Der Unterschied zwischen den verschiedenen Bedeutungen des Abstandes ist ein multiplikativer Faktor, den man kürzen kann. Es ist meiner Meinung nach also ausreichend mit dem Koordinatenabstand r zu rechnen, wenn man die Gezeitenkräfte berechnen will. Obwohl eine Kürzung des Faktors 0 problematisch sein kann, so unterstützen die Gullstrand-Painleve-Koordinaten doch diese Sichtweise, wegen g_rr = 1.0. Es gibt geometrisch also keinen Unterschied zwischen dem r des unendlich entfernten Beobachters und dem r des frei fallenden Raumfahrers.
Freundliche Grüße, B.

Proton

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Beitrag Di 14. Mär 2017, 15:06

Re: Fällt ein Körper mit Lichtgeschwindigkeit in ein schw. L

Ein Schritt nach dem anderen.

Kann gut sein, daß ich einen Denkfehler habe. Der Koordinatenabstand benachbarter Schalen geht wegen (1-2M/r) am EH gegen Null. Prinzipiell ist der radiale Eigenabstand größer, als der aus der Differenz der r-Koordinaten berechnete. Aber der Koordinatenabstand zwischen 2 radial benachbarten frei fallenden Punkten? Ich hatte angenommen, daß hier das gleiche gilt!?

Stell' bitte gern richtig, wo ich verkehrt liege.

Anti-Neutron

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Beitrag Di 14. Mär 2017, 18:56

Timm hat geschrieben:Prinzipiell ist der radiale Eigenabstand größer, als der aus der Differenz der r-Koordinaten berechnete.

Wenn man zwischen Koordinatenabstand und Eigenabstand unterscheiden will, muss man angeben, für welchen Beobachter die zugehörigen Aussagen gelten sollen. Bei Schwarzschild-Koordinaten nimmt man da gerne einen stationären Beobachter. Für den gilt die zitierte Aussage. Man kann dabei sogar den Proportionalitätsfaktor p angeben. Er ergibt sich aus der Wurzel der g_rr-Komponente der Schwarzschild-Metrik in Schwarzschild-Koordinaten, also
$p = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{r_s}{r}}}$
Für den stationären Beobachter geht dieser Faktor am EH sogar gegen Unendlich.

Aber der Koordinatenabstand zwischen 2 radial benachbarten frei fallenden Punkten? Ich hatte angenommen, daß hier das gleiche gilt!?

Für den frei fallenden Beobachter sieht obige Überlegung deutlich anders aus. Gleich bleibt die Berechnung des Proportionalitätsfaktors p. Die Wurzel der g_rr-Komponente der Metrik ergibt hier aber eins.

Zur Erinnerung: Will man Eigenlängen entlang von Koordinatenlinien ausrechnen, so setzt man
a) im Linienelement das Differential jeweils einer raumartigen Koordinate gleich der Koordinatenlänge, also z.B. $dr = \Delta r$
b) alle anderen Differentiale gleich Null, also z.B. $dt = d\theta = d\Phi = 0$ und berechnet dann über das Linienelement die resultierende Eigenlänge, also z.B.

$\Delta s^2 = \frac{1}{1-\frac{r_s}{r}}\Delta r^2$
Freundliche Grüße, B.

Proton

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Beitrag Di 14. Mär 2017, 20:52

Re:

Bernhard hat geschrieben:
Timm hat geschrieben:Prinzipiell ist der radiale Eigenabstand größer, als der aus der Differenz der r-Koordinaten berechnete.

Wenn man zwischen Koordinatenabstand und Eigenabstand unterscheiden will, muss man angeben, für welchen Beobachter die zugehörigen Aussagen gelten sollen. Bei Schwarzschild-Koordinaten nimmt man da gerne einen stationären Beobachter. Für den gilt die zitierte Aussage.

Deshalb hatte ich von benachbarten Schalen (r jeweils const.) gesprochen, für die die Aussage gilt.


Bernhard hat geschrieben:Für den frei fallenden Beobachter sieht obige Überlegung deutlich anders aus.

$\Delta s^2 = \frac{1}{1-\frac{r_s}{r}}\Delta r^2$

Das sehe ich nicht, denn für benachbarte Schalen gilt:

$d s^2 = \frac{1}{1-\frac{r_s}{r}}d r^2$, aus der raumartigen Form der Metrik mit $dt^2=0$.

Wo ist dann der Unterschied zwischen Schalenabstand und dem der frei fallenden Beobachter?

Anti-Neutron

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Beitrag Mi 15. Mär 2017, 00:18

Timm hat geschrieben:Wo ist dann der Unterschied zwischen Schalenabstand und dem der frei fallenden Beobachter?

Für den frei fallenden Beobachter gilt $d s^2 = d r^2$, aus der raumartigen Form der "Gullstrand-Painleve-Metrik" mit $dt=0$.
Freundliche Grüße, B.

Proton

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Beitrag Mi 15. Mär 2017, 11:05

Re:

Bernhard hat geschrieben:
Timm hat geschrieben:Wo ist dann der Unterschied zwischen Schalenabstand und dem der frei fallenden Beobachter?

Für den frei fallenden Beobachter gilt $d s^2 = d r^2$, aus der raumartigen Form der "Gullstrand-Painleve-Metrik" mit $dt=0$.

In SK gilt das für den asymptotisch flachen Raum. Ich habe auf die Schnelle die raumartige Form der GP-Metrik nicht gefunden. Hast Du eine Referenz oder kannst Du sie hier zeigen?

Kannst Du kurz erläutern, wie Du zu $\Delta s^2 = \frac{1}{1-\frac{r_s}{r}}\Delta r^2$ für den freien Fall kommst?

In SK gilt wie in der letzten Post erwähnt für den Eigenabstand benachbarter Schalen $d s^2 = \frac{1}{1-\frac{r_s}{r}}d r^2$.

Integriert erhält man $\displaystyle \Delta s \displaystyle = \displaystyle \left[\sqrt{r\left(r-r_{s}\right)}+r_{s}\tanh^{-1}\sqrt{1-\frac{r_{s}}{r}}\right]_{r_{A}}^{r_{B}}$.

Frage: weshalb sollte das nicht auch für den Eigenabstand zweier frei fallender Beobachter gelten? Oder anders, weshalb ein Unterschied, wenn $dt=0$ ist?

Entschuldige, wenn es bei mir holpert, aber ich bin ja kein Profi.

Anti-Neutron

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Beitrag Mi 15. Mär 2017, 11:33

Timm hat geschrieben:Ich habe auf die Schnelle die raumartige Form der GP-Metrik nicht gefunden. Hast Du eine Referenz oder kannst Du sie hier zeigen?

https://en.wikipedia.org/wiki/Gullstran ... oordinates

Kannst Du kurz erläutern, wie Du zu $\Delta s^2 = \frac{1}{1-\frac{r_s}{r}}\Delta r^2$ für den freien Fall kommst?

Bitte lies nochmal genau was ich geschrieben habe. Die zitierte Formel gilt für den stationären Beobachter.
Freundliche Grüße, B.

Proton

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Beitrag Mi 15. Mär 2017, 15:02

Re:

Bernhard hat geschrieben:Bitte lies nochmal genau was ich geschrieben habe. Die zitierte Formel gilt für den stationären Beobachter.

Dann habe ich das
Bernhard hat geschrieben:Für den frei fallenden Beobachter sieht obige Überlegung deutlich anders aus. Gleich bleibt die Berechnung des Proportionalitätsfaktors p. Die Wurzel der g_rr-Komponente der Metrik ergibt hier aber eins.

Zur Erinnerung: Will man Eigenlängen entlang von Koordinatenlinien ausrechnen, so setzt man
a) im Linienelement das Differential jeweils einer raumartigen Koordinate gleich der Koordinatenlänge, also z.B. $dr = \Delta r$
b) alle anderen Differentiale gleich Null, also z.B. $dt = d\theta = d\Phi = 0$ und berechnet dann über das Linienelement die resultierende Eigenlänge, also z.B.

$\Delta s^2 = \frac{1}{1-\frac{r_s}{r}}\Delta r^2$

falsch interpretiert. Gut, stationär. Integriert man, statt einfach Eigen-Abstände Koordinaten-Abständen näherungsweise gleich zusetzten, so erhält man für den Eigen-Abstand benachbarter Schalen den in meinem letzten Beitrag erwähnten Ausdruck für $\Delta s$. Weshalb dieser nicht auch für den freien Fall gilt, erschließt sich mir nach wie vor nicht. Wir betrachten doch eine eingefrorene Situation, in der 2 Punkte nicht wissen, ob sie statisch sind oder frei fallen. Welchen Denkfehler habe ich da?

Vielen Dank für den link. Mit GP-Koordinaten habe ich mich noch nicht befasst. Ich muß mir das genauer ansehen, auf Anhieb sehe ich nicht, wie sich aus der zeitartigen Metrik mit $dt=0$ ein $ds^2=dr^2$ ergibt.

Anti-Neutron

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Beitrag Mi 15. Mär 2017, 15:47

Timm hat geschrieben:falsch interpretiert.

Tut mir leid. Ich hatte das tatsächlich ziemlich schlecht formuliert.

wie sich aus der zeitartigen Metrik mit $dt=0$ ein $ds^2=dr^2$ ergibt.

Was ist eine zeitartige Metrik? Im WP-Artikel ist nur eine GP-Metrik angegeben und die stimmt auch mit der Fachliteratur überein. Setzt man im zugehörigen Linienelement $dt = d\theta = d\Phi = 0$ so ergibt sich sofort $ds^2=dr^2$.
Freundliche Grüße, B.

Proton

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Beitrag Mi 15. Mär 2017, 18:07

Re:

Bernhard hat geschrieben:Was ist eine zeitartige Metrik? Im WP-Artikel ist nur eine GP-Metrik angegeben und die stimmt auch mit der Fachliteratur überein. Setzt man im zugehörigen Linienelement $dt = d\theta = d\Phi = 0$ so ergibt sich sofort $ds^2=dr^2$.

Ich habe diese Unterscheidung ursprünglich aus "Exploring Black Holes", Taylor&Wheeler, für die Schwarzschildmetrik. Hier bezeichnen die Autoren $ds^2=...$ als raumartige und $d\tau^2=...$ als zeitartige Metrik. Was sich lediglich ändert sind die Vorzeichen. $ds^2=dr^2$ kann ich jetzt nachvollziehen, danke für die Geduld.

Was mir noch fehlt ist Verständnis für diese Frage:
Timm hat geschrieben: Gut, stationär. Integriert man, statt einfach Eigen-Abstände Koordinaten-Abständen näherungsweise gleich zusetzten, so erhält man für den Eigen-Abstand benachbarter Schalen den in meinem letzten Beitrag erwähnten Ausdruck für $\Delta s$. Weshalb dieser nicht auch für den freien Fall gilt, erschließt sich mir nach wie vor nicht. Wir betrachten doch eine eingefrorene Situation, in der 2 Punkte nicht wissen, ob sie statisch sind oder frei fallen. Welchen Denkfehler habe ich da?
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