Kann Zeitdilatation Schmelzen verhindern?


Die Relativitätstheorie basiert auf dem Relativitätsprinzip von Galileo. Hier ist Raum, Fragen zur Relativität zur diskutieren.

langlebiges Kaon

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Beitrag Di 23. Aug 2016, 09:57

Re: Kann Zeitdilatation Schmelzen verhindern?

mahado hat geschrieben:Ein Tennisballgroßer Schneeball fliegt an der Erde vorbei und dann weiter knapp an der Sonne vorbei.


Darin stecken ein paar Tücken, die das Rechnen damit reichlich unhübsch machen.

  1. Die Sonne (oder irgendein beliebiger anderer Stern $\ast$ der über seine Fläche $S$ integrierten Luminosität $L$) kann dabei nicht mehr o.B.d:A. als Punktstrahler aufgefaßt werden, ergo wird aus der perfekten Kugel, als die man die Sonne in Ihrem Ruhesystem hier annehmen sollte wegen der für den relativistisch anfliegenden Probekörpers $K$ der Masse $m_{K}$ mit bestrahlter Fläche $A_{luv}$ wegen der LK ein abgeplattetes Gebilde, dessen Flächenleistung am Ort $\vec{r}$ im baryzentrischen System des Sterns nicht mehr einfach als $\mathrm{d}A\,L/(4\pi r^2) $ gerechnet werden kann, weil es aus Sicht von $K$ nicht mehr sphärisch symmetrisch emittiert.
  2. Den physikalischen Aufbau von Sternatmosphären lassen wir hier beiseite, aber gilt immer noch das Plancksche Gesetz - die Sonne emittiert nicht monochromatisches Licht. Durch den rel. Dopplereffekt wird hier also pro $\mathrm{d}S$ eine Emissionskurve deformiert, und nicht nur eine isolierte Frequenz verschoben. Da wäre für sich auch noch nicht so schlimm, aber da ein Stern eben eine Ausdehnung hat, muss man hier zweimal integrieren, nämlich einmal pro $\mathrm{d}S$ über das Spektrum und die $dS$ dann wegen (i) über eine reichlich unfreundliche Topologie.

---

Stellen mal vorsichtig wir den Kochtopf auf den Herd und sortieren sorgsam die Zutaten.

Sei $c := 1$, -+++-Signatur gewählt (also u.a. t führend notiert).
Ferner sei $R_{\ast} \gg 2GM_{\ast}$, so dass die Beschleunigung, die $K$ auf der Trajektorie erfährt, gegenüber $v_0 $ vernachlässigbar ist.

Es bringt nicht viel Erkenntnis, $K$ den Stern passieren zu lassen, man sollte ihn also besser einfach (im $\ast$-System) radial von $(0, r_i)^T$ bis $(t_f, r_f)^T = (t_f, r_i - \beta t_f)^T$ fliegen lassen.
Ferner ist reichlich belanglos, wer wann wo "sieht", dass $K$ eine gewisse Wärmemenge pro Masseneinheit absorbiert hat, wann also z.B. das Schmelzen des Eisballes für jemanden kausal wird, kann hier außer Ansatz bleiben.

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Um das Problem nun analytisch in den Griff zu kriegen, würde ich erst mal zwei geometrisch einfachere Szenarien betrachten wollen

  1. Wegen (i) könnte es Sinn machen, einmal eine dünne Kugelschale $\Omega$ der Ruhemasse $m_{\Omega}$ relativistisch einfallen zu lassen. Etwa so, wie es bei Supernovae passiert. Der Vorteil einer Kugelschale gegenüber einem isolierten $K$ liegt darin, dass die Schale von der kompletten $L$ beleuchtet wird - da kommt also nix weg.
  2. Wegen (ii) könnte ferner es Sinn machen, $K$ frontal auf eine (monochromatische) Laserquelle der Querschnittsfläche $A_{luv}$ zufliegen zu lassen. Dann man nur mir einer Frequenz zu tun, und außerdem ist solch eine Quelle geometrisch einfacher zu behandeln, als eine leuchtende Kugel resp (im K-System) Oblate, da die Korrellation von leuchtender und beleuchteter Fläche invariant und zeitlich konstant ist. Man hätte hier also nur Doppler und ZD zu betrachten.
Zuletzt geändert von Solkar am Di 23. Aug 2016, 11:08, insgesamt 2-mal geändert.
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Beitrag Di 23. Aug 2016, 10:10

Re: Kann Zeitdilatation Schmelzen verhindern?

Dagobert hat geschrieben: Im meinem letzten Beitrag hatte ich den longitudinalen relativistischen Dopplereffekt aufgeführt. Der transversale wäre:

v/v0 = sqrt(1-ß²)/(1+vr/c) = sqrt(1-ß²)/(1+(xß/sqrt(a²+x²)) = 1/(gamma(1-ßcos(phi))

Dabei habe ich mir erlaubt, noch eine () zu ergänzen. Diese Formel ist der relativistische Doppler-Effekt für beliebige Winkel, woraus man mit phi=0 den longitudinalen und mit phi=90° den transversalen DE erhält. Das Zusammenspiel von "Kinematik" und Zeitdilatation sieht man am besten an einem praktischen Beispiel. Mit v=0.5c ist der Anteil der Zeitdilatation const = 0.866, während sich der Anteil der kinematischen Komponente mit von 0° auf 90° zunehmendem Winkel von .5 auf 1 verdoppelt.

Dagobert hat geschrieben:Es ist jetzt hoffentlich klar geworden dass das, was wir aufgrund einer Messvorhersage erwarten (verlangsamte Bewegung durch die Zeitdilatation) sich nicht mit dem deckt, was wir durch ein Fernrohr "sehen" würden.

Ich bin nicht sicher, ob ich Dich verstehe. Nehmen wir den transversalen Fall, phi=90°. Das am Beobachter vorbei fliegende Objekt sendet regelmäßig Lichtpulse, die dilatiert beim ihm ankommen. Das kann er sehen, bzw. messen, oder?

P.S. Klar kennen wir uns, sogar persönlich :D . Ich habe Dich hier Dagobert genannt, um nicht zu tratschen.

kurzlebiges Kaon

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Beitrag Sa 27. Aug 2016, 02:51

Re: Kann Zeitdilatation Schmelzen verhindern?

Timm hat geschrieben:Ich bin nicht sicher, ob ich Dich verstehe. Nehmen wir den transversalen Fall, phi=90°. Das am Beobachter vorbei fliegende Objekt sendet regelmäßig Lichtpulse, die dilatiert beim ihm ankommen. Das kann er sehen, bzw. messen, oder?

Das wäre der Fall der geringsten Entfernung:

v/v0 = sqrt(1-ß²)

Genau da, und nur da, ergibt sich kein Unterschied zwischen "sehen" und "messen".

Leider weilt dieser schöne Augenblick nur unendlich kurz. So wie vieles andere auch. :)

Solkar hat natürlich nicht zu Unrecht erwähnt:

Ferner ist reichlich belanglos, wer wann wo "sieht", dass K eine gewisse Wärmemenge pro Masseneinheit absorbiert hat, wann also z.B. das Schmelzen des Eisballes für jemanden kausal wird, kann hier außer Ansatz bleiben.

Auch wenn ich nicht von Wärmemenge, sondern vielmehr von Temperatur im Sinne von "Bewegung der Teilchen"" schrieb.

Bernhard lag ebenfalls richtig, diesem Umstand keine allzu große Bedeutung beizumessen. Schliesslich kann man Temperatur nicht sehen. In diesem Kontext nicht mal im Bereich sichtbaren Lichtes.

Mir ging es eher um die prinzipielle Unterscheidung zwischen sehen und messen. Das wird insbesondere beim Aussehen schnell bewegter Objekte relevant. Diese sehen aufgrund von sogenannten Retardierungserscheinungen und der Tatsache, dass jeder Punkt eines ausgedehnten Objektes wegen der unterschiedlichen Lichtlaufzeiten zu einem anderen Zeitpunkt der Vergangenheit gehört nicht so aus, wie man es aufgrund der Messvorhersage der Längenkontraktion erwarten würde. Das führt dann zu allerlei bizarren Effekten.

So wird z.B. eine Kugel gemäß Rechnersimulation nicht zur Ellipse. Sie bleibt eine Kugel, allerdings mit verzerrter Oberflächenstruktur.

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Beitrag Sa 27. Aug 2016, 10:03

Re: Kann Zeitdilatation Schmelzen verhindern?

Dagobert hat geschrieben:Retardierungserscheinungen


Mit dem Begriff Retardierung wäre ich im Deutschen vorsichtig, wenn es nur um Kausalität für einen beliebig relativ bewegten und beliebig entfernten Beobachter geht, die Physik, die interessiert, aber komplett an einem anderen Ort passiert.

Beim klassischen Beispiel für Retardierung, dem sog. Liénard-Wiechert-Potential, s. z.B. meine Mapleleien zu gewissen Übungen in Malen mit Zahlen (ebd, Gln. (iv), (v) samt Quelle), passiert zumindest ein Teil der interessierenden Physik, nämlich die Deformation des Potentials, am Ort des Beobachters, bei unserem Schneeball hingegen ginge es hier maximal nur um die Kausalität eines raumzeitlich entfernten singulären Ereignisses.

Im lateinischen oder englischen Wortsinne kann könnte man das natürlich als retardus, resp. retarded bezeichnen, aber ich denke, dass der Fremdsprech im Deutschen hier eher schaden als nützen würde.

---

Insgesamt haben wir beim Schneeball-Ensemble eher das Problem, dass die lokale Flugdauer mit $1/\gamma$ geht, die Frequenz der lokal einstrahlenden EM-Strahlung aber mit $\gamma (1-\beta)$, das kürzt sich also nicht einfach trivial weg.

---

Dagobert hat geschrieben: Schliesslich kann man Temperatur nicht sehen.

Jein. Es gilt für Schwarzkörper das Planck-Gesetz, das Temperatur und spektrale Intensität korreliert, und über das Spektrum integriert hat man $P \propto T^4$ (Stefan–Boltzmann).
Für Körper, die nicht idS ideal schwarz sind, ändern sich zwar die Korrelationen, aber irgendwie korreliert $T$ dann immer noch mit etwas, das man iWn sehen kann.
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Beitrag Sa 27. Aug 2016, 11:30

Re: Kann Zeitdilatation Schmelzen verhindern?

Und noch'n Gedicht zum Thema:

[JT82] Johnson, M. H. & Teller, E. Intensity changes in the Doppler effect.
Proceedings of the National Academy of Sciences, National Acad Sciences, 1982, 79, 1340-1340.
onilne bei NAS
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Beitrag Fr 2. Sep 2016, 11:17

Re: Kann Zeitdilatation Schmelzen verhindern?

Solkar hat geschrieben:
  1. [...]
  2. Wegen (ii) könnte ferner es Sinn machen, $K$ frontal auf eine (monochromatische) Laserquelle der Querschnittsfläche $A_{luv}$ zufliegen zu lassen. Dann man nur mir einer Frequenz zu tun, und außerdem ist solch eine Quelle geometrisch einfacher zu behandeln, als eine leuchtende Kugel resp (im K-System) Oblate, da die Korrellation von leuchtender und beleuchteter Fläche invariant und zeitlich konstant ist. Man hätte hier also nur Doppler und ZD zu betrachten.


Solkar hat geschrieben:Insgesamt haben wir beim Schneeball-Ensemble eher das Problem, dass die lokale Flugdauer mit $1/\gamma$ geht, die Frequenz der lokal einstrahlenden EM-Strahlung aber mit $\gamma (1-\beta)$, das kürzt sich also nicht einfach trivial weg.


Und genau das $(1-\beta)$ ist da die Crux. Alles was man da an Faktoren kriegen kann - LK des Volumens, ZD der Quelle, Massenzunahme (aufgrund von $\beta$, die Zunahme der inneren Energie aufgrund Erwärmung passt von der Größenordnung her nicht), koppelt immer in Monomen (ganzzahligen Grades) von $\gamma$, da bleibt nach meiner Wahrnehmung kein isoliertes $(1-\beta)^{-1}$ zum Kürzen übrig.

Was ich mir noch nicht angeschaut habe, sind Beiträge aus der Heat Equation. Da die manifest nicht Lorentz-covariant ist, muss da also irgendwas nachbleiben, was man uU brauchen könnte. Nur frage ich mich, ob uns das nicht zu weit von der SRT wegführt, als PDGl hat die Heat Equation so ihre ganz speziellen Tücken.
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Beitrag Fr 2. Sep 2016, 14:56

Re: Kann Zeitdilatation Schmelzen verhindern?

Solkar hat geschrieben:
Dagobert hat geschrieben:Retardierungserscheinungen


Mit dem Begriff Retardierung wäre ich im Deutschen vorsichtig, wenn es nur um Kausalität für einen beliebig relativ bewegten und beliebig entfernten Beobachter geht, die Physik, die interessiert, aber komplett an einem anderen Ort passiert.

Das ist korrekt. Allerdings bezog ich den Begriff "Retardierungserscheinung" hier speziell auf das "Aussehen" von Objekten mit relativistischen Relativgeschwindigkeiten. Also auf das, wie uns ein Objekt, durch ein Objektiv betrachtet, "erscheinen" würde. Das ist also nur ein scheinbarer Effekt.

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Beitrag Di 6. Sep 2016, 15:31

Re: Kann Zeitdilatation Schmelzen verhindern?

Solkar hat geschrieben:Was ich mir noch nicht angeschaut habe, sind Beiträge aus der Heat Equation. Da die manifest nicht Lorentz-covariant ist, muss da also irgendwas nachbleiben, was man uU brauchen könnte. Nur frage ich mich, ob uns das nicht zu weit von der SRT wegführt, als PDGl hat die Heat Equation so ihre ganz speziellen Tücken.

Seien
$c := 1,\quad y_{,x} := \frac{\partial y}{\partial x},\quad \partial_x := \frac{\partial}{\partial x} $.

Heat Equation: $u_{,t} - a (u_{,xx} + u_{,yy} + u_{,zz}) = 0$ (1)

LT: $ \left(\begin{array}{c} t' \\ x' \end{array} \right) = \Lambda_{\beta}\left(\begin{array}{c} t \\ x \end{array} \right) = \gamma(\beta) \left(\begin{array}{cc} 1 & -\beta \\ -\beta & 1 \end{array} \right) \left(\begin{array}{c} t \\ x \end{array} \right)$ (2)

$D\Lambda_{\beta} = \left(\begin{array}{cc} t'_{,t} & t'_{,x} \\ x'_{,t} & x'_{,x} \end{array} \right) = \gamma(\beta) \left(\begin{array}{cc} 1 & - \beta \\ -\beta & 1 \end{array} \right)$. (3, Jacobi-Matrix der LT)

Trafos der Diff-Ops:

$\partial_{t} = t'_{,t} \partial_{t'} + x'_{,t} \partial_{x'} = \gamma \left(\partial_{t'} - \beta \partial_{x'}\right)$, (4)
$\partial_{x} = t'_{,x} \partial_{t'} + x'_{,x} \partial_{x'} = \gamma \left(- \beta \partial_{t'} + \partial_{x'}\right)}$, (5)

$\partial_{yy}, \partial_{zz}$ transformieren bei x-Boots trivial.

Mit der Kalligraphie zu $\partial_{xx}$ mach ich morgen weiter.
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Beitrag Mi 7. Sep 2016, 13:42

Re: Kann Zeitdilatation Schmelzen verhindern?

Solkar hat geschrieben:$D\Lambda_{\beta} = \left(\begin{array}{cc} t'_{,t} & t'_{,x} \\ x'_{,t} & x'_{,x} \end{array} \right) = \gamma(\beta) \left(\begin{array}{cc} 1 & - \beta \\ -\beta & 1 \end{array} \right)$. (3, Jacobi-Matrix der LT)

Trafos der Diff-Ops:

$\partial_{t} = t'_{,t} \partial_{t'} + x'_{,t} \partial_{x'} = \gamma \left(\partial_{t'} - \beta \partial_{x'}\right)$, (4)
$\partial_{x} = t'_{,x} \partial_{t'} + x'_{,x} \partial_{x'} = \gamma \left(- \beta \partial_{t'} + \partial_{x'}\right)}$, (5)


$\partial_{xx} = \gamma \left(- \beta \partial_{t'} + \partial_{x'}\right) \partial_{x}$ (6)
$ = \gamma \left(- \beta \partial_{t'} + \partial_{x'}\right) \left(\gamma \left(- \beta \partial_{t'} + \partial_{x'}\right)} \right)$ (7)
$ = \gamma^2 \left(\partial_{xx} - 2\beta \partial_{t'x'} + \beta^2 \partial_{t't'}\right) $ (8)

Man hat also insgesamt für die transformierte homogene HEq. insgesamt

$\gamma \left(u_{,t'} - \beta u_{,x'} - a\left(\gamma \left(u_{,xx} - 2\beta u_{,t'x'} + \beta^2 u_{,t't'}\right)\right)\right) - a(u_{,y'y'} + u_{,z'z'}) = 0$ . (9)

---

Den Term $- a(u_{,y'y'} + u_{,z'z'})$ kann man durch eine Modellannahme loswerden, statt eines Schneeballes betrachtet man einen Schnee-Zylinder, dessen Längsachse längs $\vec{e}_x$ orientiert, ist und der somit in $dy \wedge dz$ Scheiben jeweils kein Temperaturgefälle hat.

$\gamma \left(u_{,t'} - \beta u_{,x'} - a\left(\gamma \left(u_{,x'x'} - 2\beta u_{,t'x'} + \beta^2 u_{,t't'}\right)\right)\right) = 0$ . (9')

Dto dann natürlich mit (1) oben.

---

Jetzt muss man sich über Inhomogenitäten und Greensche Funktionen Gedanken machen; ich ahne irgendwie, dass (9') nicht gerade Bronstein-integrabel ist.
Zur Not könnte man das auch mit FEM bearbeiten; ich hab seinerzeit mal für einen Kurs in PDGl. für (1) ein kleine poor man's FEM in FORTRAN kodiert.

Mal schauen, was geht.
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Photon

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Beitrag Fr 9. Dez 2016, 00:24

Re: Kann Zeitdilatation Schmelzen verhindern?

Hallo,
kann man die Frage nicht auch ganz einfach beantworten ?

Die Energie, die auf den Schneeball übertragen wird, bestimmt sich aus der Anzahl der Photonen, die auf den Schneeball während des Vorbeiflugs treffen. Die Anzahl der Photonen sollte in "Sonnenzeit" und "Schneeballzeit" gleich sein.
Wenn die Schneeballzeit nun wegen der Nähe zur Lichtgeschwindigkeit langsamer verläuft, heißt dies, dass im Schneeballsystem die Anzahl der Photonen bro Schneeball-Sekunde entsprechend höher ist als in "Sonnenzeit".
Das heißt, wenn die Schneeball-Zeit um den Faktor 1000 langsamer verläuft als die Sonennzeit, misst man auf dem Schneeball eine 1000-fach so hohe Energiedichte der Sonnenstrahlung.
Oder anders ausgedrückt: Wenn auf Grund der erhöhten Energiedichte keine weiteren Effekte eine Rolle spielen, müsste der Schneeball in beiden Systemen gleichartig schmelzen.

Anti-Neutron

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Beitrag Mo 12. Dez 2016, 21:12

Hallo Harald,

Harald hat geschrieben:Die Energie, die auf den Schneeball übertragen wird, bestimmt sich aus der Anzahl der Photonen, die auf den Schneeball während des Vorbeiflugs treffen.

ich würde noch etwas präziser mit der Photonendichte argumentieren. Die Photonendichte ist aufgrund der Lorentzkontraktion im Schneeballsystem größer und damit wird die kürzere Flugzeit eventuell genau ausgeglichen.

Um die Frage zu klären, wie die Energie dieser Photonen transformiert, müsste man rechnen. Leider kann ich dazu aktuell nichts Brauchbares beitragen.
Freundliche Grüße, B.

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Beitrag Di 13. Dez 2016, 20:02

Re:

Bernhard hat geschrieben:Um die Frage zu klären, wie die Energie dieser Photonen transformiert, müsste man rechnen. Leider kann ich dazu aktuell nichts Brauchbares beitragen.

Die Transformierung der Energie ist hier nur sekundär das Problem, denke ich. Eher die Tatsache, dass man die Sonne in diesem konkreten Beispiel nicht mehr als Punktstrahler auffassen kann.

Anti-Neutron

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Beitrag Sa 17. Dez 2016, 10:49

Bernhard hat geschrieben:ich würde noch etwas präziser mit der Photonendichte argumentieren.

Hier wäre auch noch ein Link, der etwas weiterhelfen könnte: https://en.wikipedia.org/wiki/Electroma ... rgy_tensor . Statt der Photonendichte kann man sich zuerst das Verhalten der Energiedichte bei einer LT (Lorentz-Trafo) anschauen.

EDIT: Ich habe mal etwas gerechnet und komme (in "hinreichender Übereinstimmung" mit Solkars Formeln auf dieser Seite) auf das folgende Transformationsverhalten der 00-Komponente des EI-Tensors (= Energiedichte eines em-Feldes) bei einem Lorentz-Boost in x-Richtung:
$T_{00}' = \gamma^2\left(T_{00} + \beta (T_{01} + T_{10}) + \beta^2 T_{11} \right)$
Die Energiedichte im transformierten System wird also auch von der x-Komponente des Poynting-Vektors im ruhenden System bestimmt. Für eine Auswertung dieser Formel müsste man jetzt "nur" noch das Feld einer freien em-Welle im ruhenden System in die rechte Seite dieser Formel einsetzen.
Freundliche Grüße, B.
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