Rotierender Stab in expandierender Raumzeit


Die Relativitätstheorie basiert auf dem Relativitätsprinzip von Galileo. Hier ist Raum, Fragen zur Relativität zur diskutieren.

Ich

Anti-Proton

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Beitrag Di 15. Mär 2016, 16:48

Re: Rotierender Stab in expandierender Raumzeit

Timm hat geschrieben:
Ich hat geschrieben:Doch, das hängst du mit dran wie in Gl. 7 bei Peacock.

Wenn ich richtig gerechnet habe, bekomme ich damit eine Null Verschiebung unter der Bedingung $\Omega_\Lambda=\Omega_m/2a^3$.
Ja, das ist das statische Einstein-Universum. Oder, kurzzeitig, ein Universum am Wendepunkt von Abbremsung nach Beschleunigung.
Unklar bei (7) ist mir der statische Fall mit $\Omega_\Lambda=0$ und der resultierenden Blauverschiebung. Das materiehaltige Universum expandiert ja auch ohne $\Lambda$, wenn auch gebremst. Wie passt das zusammen? Oder ist die gebremste Expansion implizit enthalten?
Es gibt keinen solchen statischen Fall. Ein reines Materieuniversum kann kontrahieren oder expandieren (oder gerade im Übergang zwischen beidem sein), in allen Fällen ergibt sich die Blauverschiebung nach dieser Formel.

Proton

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Beitrag Di 15. Mär 2016, 18:52

Re: Rotierender Stab in expandierender Raumzeit

Ok, danke. Das Birkhoff Theorem hatte ich unterschätzt, faszinierend, daß die verschiedenen Weltmodelle daraus folgen.

Hier nochmal der Übersichtlichkeit halber Peacock
$\ddot{r}=-H_0^2r(\Omega_m/a^3-2\Omega_v)$ (7) , wobei $\Omega_v$ die Vakuumdichte ist.

Das "untere" Ende des Stabes der Länge $r$ befindet sich im Ursprung. Das Vorzeichen der Frequenzverschiebung hängt offensichtlich vom Verhältnis der beiden Dichten ab.

Nun zu Bernhard's Frage, die für den rotierenden Stab eine Rolle zu spielen scheint: Geht die Frequenzverschiebung konform mit der Zeitdilatation? Ich kann mir eigentlich nichts anderes vorstellen, aber nixgwieswoasmaned.

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Proton

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Beitrag Fr 25. Mär 2016, 10:11

Re: Re:

Timm hat geschrieben:SS-RZ: Bob seilt eine Uhr an das untere Stabende ab und sieht sie dort langsamer gehen. Nach einer Weile holt er sie zurück und stellt fest, daß sie nachgeht.
FRW-RZ: Bob schickt eine Uhr an das andere Stabende und sieht sie dort schneller gehen. Nach einer Weile holt er sie zurück und stellt fest, daß sie vorgeht.

Wir hatten zuletzt gesehen, daß die zweite Annahme, FRW-RZ, für ein Materie dominiertes Universum mit $\Omega_\Lambda<\Omega_m/2a^3$ zu passen scheint. Auf dem Hinweg zum Stabende ist die Uhr rotverschoben, auf dem Rückweg blauverschoben. Diese Verschiebungen während des Transports sollen unberücksichtigt bleiben.

Frage, trifft die Annahme zu?

Anti-Neutron

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Beitrag Fr 25. Mär 2016, 20:40

Timm hat geschrieben:Nun zu Bernhard's Frage, die für den rotierenden Stab eine Rolle zu spielen scheint: Geht die Frequenzverschiebung konform mit der Zeitdilatation? Ich kann mir eigentlich nichts anderes vorstellen, aber nixgwieswoasmaned.

Hallo Timm,

gehen wir dazu zurück in die Minkowski-Raumzeit und platzieren in den Ursprung des Koodinatensystems den ruhenden Beobachter A (Alice) und lassen bei t=0 den Beobachter B (Bob) in Richtung der x-Achse mit der Geschwindigkeit v fahren. Bobs Uhr "geht also langsamer" als die Uhr von Alice. Präziser: Die Eigenzeiten sehen wie folgt aus:

$\tau_A = t$

$\tau_B = t\;\sqrt{1-\beta^2}$

oder

$\tau_B = \tau_A\;\sqrt{1-\beta^2}$

Die Frequenzverschiebung sieht aber anders aus, nämlich entsprechend des relativistischen Dopplereffektes. Trotzdem gibt es aber einen engen Zusammenhang zwischen den Eigenzeiten und der Frequenzverschiebung und der wird in der Arbeit von D. Brill beschrieben:

Alice sende dazu Bob Lichtsignale. Das Lichtsignal starte bei $\tau_A$ bei Alice und erreiche Bob bei dessen Eigenzeit $\tau_B$. Man kann also die Funktion $\tau_B(\tau_A)$ entsprechend des Zusammenhanges über das gesendete Lichtsignal berechnen. Das Verhältnis der Frequenzen bei Alice und Bob ergibt sich dann als erste Ableitung dieser Funktion, also $d\tau_B/d\tau_A$.

Prüfen wir diese Aussage anhand des beschriebenen Beispiels:

Die Position von Bob ergibt sich zu $x_B=vt$. Die Position des Lichtsignals berechnet sich gemäß $x=c(t-\tau_1)$. Aus $x_B=x$ folgt $c\tau_A = (c-v)t$. Die Beziehung zwischen t und $\tau_B$ nehme ich von oben und erhalte:

$c\tau_A = (c-v)\frac{c\tau_B}{\sqrt{(c+v)(c-v)}}$

oder

$\tau_A = \tau_B\sqrt{\frac{c-v}{c+v}}$

q.e.d.
Freundliche Grüße, B.

Ich

Anti-Proton

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Beitrag Fr 25. Mär 2016, 21:44

Re: Rotierender Stab in expandierender Raumzeit

Timm hat geschrieben:Nun zu Bernhard's Frage, die für den rotierenden Stab eine Rolle zu spielen scheint: Geht die Frequenzverschiebung konform mit der Zeitdilatation? Ich kann mir eigentlich nichts anderes vorstellen, aber nixgwieswoasmaned

Rotverschiebung ist generell ein Produkt aus zwei geometrischen Effekten: die klassische Rotverschiebung, die auf sich ändernder Entfernung beruht, und der Zeitdilatation. Sauber trennbar nur, wenn man irgendwie vernünftig festlegen kann, ob sich die Entfernung ändert oder nicht. Tut sie das nicht, und ich habe trotzdem Rotverschiebung, dann ist das Zeitdilatation.

Was ich aber eigentlich fragen wollte und nur vergessen hatte: Wie kommt es, dass du Bairisch schreiben kanst?

Timm hat geschrieben:
Timm hat geschrieben:SS-RZ: Bob seilt eine Uhr an das untere Stabende ab und sieht sie dort langsamer gehen. Nach einer Weile holt er sie zurück und stellt fest, daß sie nachgeht.
FRW-RZ: Bob schickt eine Uhr an das andere Stabende und sieht sie dort schneller gehen. Nach einer Weile holt er sie zurück und stellt fest, daß sie vorgeht.

Wir hatten zuletzt gesehen, daß die zweite Annahme, FRW-RZ, für ein Materie dominiertes Universum mit $\Omega_\Lambda<\Omega_m/2a^3$ zu passen scheint. Auf dem Hinweg zum Stabende ist die Uhr rotverschoben, auf dem Rückweg blauverschoben. Diese Verschiebungen während des Transports sollen unberücksichtigt bleiben.

Frage, trifft die Annahme zu?
Wenn du abseilst, ist die Uhr tiefer im Gravitationspotential und rotverschoben. Wenn du wegdrücken (=hochheben) musst, ist sie höher und blauverschoben. Die Überlegung ist also einfach: fallen die Dinge auf mich zu, dann bin ich unten. Fallen sie weg, bin ich oben. (Wobei ich mit dem "Fallen" natürlich die Beschleunigung meine, nicht die Geschwindigkeit.) Von daher ist der Zusammenhang zwischen Bremsparameter und Rotverschiebung tatsächlich eindeutig.

Proton

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Beitrag Sa 26. Mär 2016, 18:55

Re: Rotierender Stab in expandierender Raumzeit

Ich hat geschrieben:
Timm hat geschrieben:Nun zu Bernhard's Frage, die für den rotierenden Stab eine Rolle zu spielen scheint: Geht die Frequenzverschiebung konform mit der Zeitdilatation? Ich kann mir eigentlich nichts anderes vorstellen, aber nixgwieswoasmaned

Rotverschiebung ist generell ein Produkt aus zwei geometrischen Effekten: die klassische Rotverschiebung, die auf sich ändernder Entfernung beruht, und der Zeitdilatation. Sauber trennbar nur, wenn man irgendwie vernünftig festlegen kann, ob sich die Entfernung ändert oder nicht. Tut sie das nicht, und ich habe trotzdem Rotverschiebung, dann ist das Zeitdilatation.

Was ich aber eigentlich fragen wollte und nur vergessen hatte: Wie kommt es, dass du Bairisch schreiben kanst?


D.h. solange wir den Stab betrachten auf den sich meine Frage bezog, in welcher gekrümmten Raumzeit auch immer, entspricht die Frequenzverschiebung der Zeitdilatation. Was ja bedeutet, daß es bei der kosmologischen Rotverschiebung nicht so ist. Hier ist die Entfernung mitbewegt.
Mitbewegte Objekte sind aufgrund der Expansion rotverschoben und das, 1 + z, ist gemeint, wenn von "kosmologischer Zeitdilatation" die Rede ist.

Zeitdilatation ist ja letztlich als Observable durch Uhrenvergleich verifizierbar. Nehmen wir an, eine Uhr wird im expandierenden Universum von A nach B gebracht (beide mitbewegt) und nach langer Zeit wieder zurück nach A. Was zeigt der Vergleich der Uhren, wenn man die Transporteffekte herausrechnet? Mitbewegte Uhren zeigen überall die gleich kosmologische Zeit an, gehen also gleich schnell, aber das Gravitationspotential ändert sich während der Verweilzeit der Uhr bei B. Müßte das berücksichtigen? Allerdings ändert sich das Potential auch bei A.

Ganz einfach, ich bin dort aufgewachsen. Erlaube mir eine kleine Korrektur, entweder bayrisch oder gleich boarisch. :)

@ Bernhard, vielen Dank, ich muß mir das noch näher ansehen.

Ich

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Beitrag Sa 26. Mär 2016, 19:50

Re: Rotierender Stab in expandierender Raumzeit

Timm hat geschrieben:Nehmen wir an, eine Uhr wird im expandierenden Universum von A nach B gebracht (beide mitbewegt) und nach langer Zeit wieder zurück nach A. Was zeigt der Vergleich der Uhren, wenn man die Transporteffekte herausrechnet? Mitbewegte Uhren zeigen überall die gleich kosmologische Zeit an, gehen also gleich schnell, aber das Gravitationspotential ändert sich während der Verweilzeit der Uhr bei B. Müßte das berücksichtigen? Allerdings ändert sich das Potential auch bei A.
Wenn man die Transporteffekte nicht herausrechnet, läuft die Uhr des Reisenden immer gleich schnell wie oder langsamer als die kosmologische Koordinatenzeit. Wenn man sie herausrechnet, kommt es wohl darauf an, wie man das macht.

Ganz einfach, ich bin dort aufgewachsen.
Darf ich fragen wo? (Ich glaube, ich habe das schon mal gewusst, aber ich kann mir immer ix merken.)
Erlaube mir eine kleine Korrektur, entweder bayrisch oder gleich boarisch. :)
Nicht erlaubt, die Sprache heißt tatsächlich Bairisch.

Proton

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Beitrag So 27. Mär 2016, 10:11

Re: Rotierender Stab in expandierender Raumzeit

Ich hat geschrieben:Wenn man die Transporteffekte nicht herausrechnet, läuft die Uhr des Reisenden immer gleich schnell wie oder langsamer als die kosmologische Koordinatenzeit. Wenn man sie herausrechnet, kommt es wohl darauf an, wie man das macht.

Bei welchem Szenario im expandierenden Universum läuft die Uhr des Reisenden gleich schnell?

Nicht erlaubt, die Sprache heißt tatsächlich Bairisch.

Gut, aber die Rücksichtnahme darauf hält sich in Grenzen. Ein echter Bayer hängt an diesem 'y', denn das 'i' ist ihm zu simpel. Stell' Dir doch nur vor, man würde den Freistaat mit 'i' schreiben. Nein, bayrisch-lernen und im bayrischen Wörterbuch nachschlagen ist angesagt.

Proton

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Beitrag Mo 28. Mär 2016, 10:37

Re: Rotierender Stab in expandierender Raumzeit

Ich hat geschrieben: Darf ich fragen wo?

Meine PN bleibt im Postausgang stecken. Du kannst mir gern eine schicken, vielleicht klappt antworten..

Anti-Neutron

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Beitrag Di 29. Mär 2016, 14:53

Timm hat geschrieben:Meine PN bleibt im Postausgang stecken. Du kannst mir gern eine schicken, vielleicht klappt antworten..

PNs bleiben im Postausgang, bis sie der Empfänger gelesen hat. Das gibt dem Sender die Möglichkeit nachzubessern ;) .
Freundliche Grüße, B.

kurzlebiges Kaon

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Beitrag Di 29. Mär 2016, 17:47

Re:

Bernhard hat geschrieben:
Timm hat geschrieben:Meine PN bleibt im Postausgang stecken. Du kannst mir gern eine schicken, vielleicht klappt antworten..

PNs bleiben im Postausgang, bis sie der Empfänger gelesen hat. Das gibt dem Sender die Möglichkeit nachzubessern ;) .

Die Chance, nachzubessern, nenne ich mal eine intelligente Lösung. :)

Proton

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Beitrag Fr 1. Apr 2016, 17:00

Re:

Bernhard hat geschrieben:
gehen wir dazu zurück in die Minkowski-Raumzeit und platzieren in den Ursprung des Koodinatensystems den ruhenden Beobachter A (Alice) und lassen bei t=0 den Beobachter B (Bob) in Richtung der x-Achse mit der Geschwindigkeit v fahren. Bobs Uhr "geht also langsamer" als die Uhr von Alice. Präziser: Die Eigenzeiten sehen wie folgt aus:

$\tau_A = t$

$\tau_B = t\;\sqrt{1-\beta^2}$

oder

$\tau_B = \tau_A\;\sqrt{1-\beta^2}$

Die Frequenzverschiebung sieht aber anders aus, nämlich entsprechend des relativistischen Dopplereffektes. Trotzdem gibt es aber einen engen Zusammenhang zwischen den Eigenzeiten und der Frequenzverschiebung und der wird in der Arbeit von D. Brill beschrieben:

Alice sende dazu Bob Lichtsignale. Das Lichtsignal starte bei $\tau_A$ bei Alice und erreiche Bob bei dessen Eigenzeit $\tau_B$. Man kann also die Funktion $\tau_B(\tau_A)$ entsprechend des Zusammenhanges über das gesendete Lichtsignal berechnen. Das Verhältnis der Frequenzen bei Alice und Bob ergibt sich dann als erste Ableitung dieser Funktion, also $d\tau_B/d\tau_A$.

Prüfen wir diese Aussage anhand des beschriebenen Beispiels:

Die Position von Bob ergibt sich zu $x_B=vt$. Die Position des Lichtsignals berechnet sich gemäß $x=c(t-\tau_1)$. Aus $x_B=x$ folgt $c\tau_A = (c-v)t$. Die Beziehung zwischen t und $\tau_B$ nehme ich von oben und erhalte:

$c\tau_A = (c-v)\frac{c\tau_B}{\sqrt{(c+v)(c-v)}}$

oder

$\tau_A = \tau_B\sqrt{\frac{c-v}{c+v}}$

q.e.d.

Hübsche Herleitung, die ich nicht kannte. In der SRT stimmen Zeitdilatation und Frequenzverschiebung nicht überein. Das Resultat zeigt u.a., daß die Zeitdilatation i.G. zur Frequenzverschiebung nicht richtungsabhängig ist.
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