Zur Modellierung von colliding Kerr-Binaries


Die Relativitätstheorie basiert auf dem Relativitätsprinzip von Galileo. Hier ist Raum, Fragen zur Relativität zur diskutieren.

langlebiges Kaon

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Beitrag Fr 26. Feb 2016, 16:58

Zur Modellierung von colliding Kerr-Binaries

War ja irgendwie abzusehen, dass wieder ich eine dumme Frage dazu habe.

Das gleiche hab ich auch schon auf Astrodicticum Simplex gefragt
Was ich inmitten der “fiesen” Analytik und HPC-Numerik nicht finde, ist der analytische Ansatz für Kerr-Binare.

Schreibt man sich da jetzt eine Metrik in hinreichend allgemeiner Form an und bestimmt die Koeffizientenfunktionen über Symmetrien und Erhaltungsgrössen oder baut man sich einen T_ab zusammen oder betrachtet man nur das Quadrupolmoment und dessen Zeitentwicklung oder wie läuft das prinzipiell?

Ich kenne die Arbeiten von K. Schwarzschild und R.P. Kerr zu deren Vakuumlösungen, aber ich sehe nicht, wie man das bei den wenigen Erhaltungsgrössen, die solchen Binare offenbar nur haben, analog bewerkstelligen sollte.

Soweit ich das überblicke, bleibt da nur die (Nicht-)Ladung und Richtung des Gesamtdrehpulses erhalten, alles andere scheint variabel, zumindest bis runter auf die irreduzible Masse.

Wohlgemerkt – dass die Gleichungen “nur” noch numerisch lösen kann, ist mir schon klar, aber wo ist bitte beschrieben, wie man das zu lösende Gleichungssytem überhaupt aufstellt?

aber entweder weiss man, wo es steht, und kann die Frage sofort beantworten, oder man durchläuft vmtl. den gleichen Recherchemarathon, den ich hinter mir habe.

Also - kann hier jemand sowas aus dem Rückenmark heraus :D oder weiss zumindest von dort her, wo beschrieben ist, wie man das zu lösende Gleichungssytem überhaupt aufstellt?

Grüsse,
Solkar
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Anti-Neutron

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Beitrag Fr 26. Feb 2016, 17:41

Hallo Solkar,

hast Du für den Einstieg in die Thematik eventuell ein paar gute Links parat? Ich frage mich allerdings, ob man über das www da tatsächlich an guten Code herankommt.
Freundliche Grüße, B.

langlebiges Kaon

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Beitrag Fr 26. Feb 2016, 19:00

Re: Zur Modellierung von colliding Kerr-Binaries

Bernhard hat geschrieben:Hallo Solkar,
hast Du für den Einstieg in die Thematik eventuell ein paar gute Links parat?


Im Kern natürlich zuerst mal die Kapitel zu Penrose-Prozess und irreduzibler Masse bei Wald (Kap 12.4) und MTW (§33.8, S.907 und insb. S.913, eqns 33.58ff).
Dann das, was man jetzt so zu LIGO und GW150914 findet; aber die hast Du vmtl selbst.

Dann finde ich [lrr-2014-2] und [BDI+95] ganz ordentlich, aber die setzen alle naturgemäß auf einer Fantastillion von Vorarbeiten auf, und ich krieg so einfach für mich nicht das Big Picture zusammen .
Ziemlich spannend und grundlegend könnte, Wald zufolge, noch [Haw71] sein, aber ich hab für prl kein Ticket (mehr).

[lrr-2014-2] Blanchet, L. Gravitational Radiation from Post-Newtonian Sources and Inspiralling Compact Binaries.
Living Reviews in Relativity, 2014, 17.
doi:10.1007/lrr-2014-2
http://www.livingreviews.org/lrr-2014-2

[BDI+95] Blanchet, L.; Damour, T.; Iyer, B. R.; Will, C. M. & Wiseman, A. G.
Gravitational-Radiation Damping of Compact Binary Systems to Second Post-Newtonian Order.
Physical Review Letters, 1995, 74, 3515-3518.
doi:10.1103/PhysRevLett.74.3515
http://arxiv.org/abs/gr-qc/9501027

[Haw71] Hawking, S. W. Gravitational Radiation from Colliding Black Holes.
Phys. Rev. Lett., American Physical Society, 1971, 26, 1344-1346.
doi:10.1103/PhysRevLett.26.1344
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Anti-Neutron

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Beitrag Fr 26. Feb 2016, 23:00

Solkar hat geschrieben:aber ich hab für prl kein Ticket (mehr).

Wenn man auf die neuesten Jahrgänge verzichtet, gibt es dafür u.v.m. die von der DFG geförderten Nationallizenzen: https://www.nationallizenzen.de/ für Privatpersonen.
Freundliche Grüße, B.

langlebiges Kaon

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Beitrag Sa 27. Feb 2016, 01:22

Re: Zur Modellierung von colliding Kerr-Binaries

Lohnt sich das denn für die 3 Seiten von Hawking?

Mal abgesehen davon, dass ich da zwar ein "APS Backfile" Archiv mit prd, prl et. al. finde, aber nicht zum Lizensieren auswählen kann.
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langlebiges Kaon

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Beitrag Sa 27. Feb 2016, 15:34

Re: Zur Modellierung von colliding Kerr-Binaries

Bevor wir anfangen zu kochen, legen wir die Zutaten bereit.

---
A)
Auf jeden Fall brauchen wir Kerr,

$\mathrm{d}s^2 = - \left( 1 - \frac{r_{s} r}{\rho^{2}} \right) \mathrm{d}t^{2} - \frac{2r_{s} r a \sin^{2} \theta }{\rho^{2}} \, \mathrm {d}t \, \mathrm{d}\phi + \frac{\rho^{2}}{(r - r_{k+})(r - r_{k-})} \mathrm {d}r^{2} + \rho^{2} \mathrm{d}\theta^{2} + \left( r^{2} + a^{2} + \frac{r_{s} r a^{2}}{\rho^{2}} \sin^{2} \theta \right) \sin^{2} \theta \mathrm{d}\phi^{2}$ (nach dt. Wikipedia¹) (1)

mit
$G = c = 1,\quad r_{s} := 2M,\quad a := \frac{J}{M}, \quad \rho^{2} := r^{2} + a^{2} \cos^{2} \theta, \quad r_{k\pm} := \frac{1}{2}(r_s \pm \sqrt{r_s^2 - 4a^2}) $


---
B)
Da GW150914 & Co. doch beim Kochen gehörig reduzieren, z.B. in der Grössenordnung von $3M_{\odot}$, gehört ein Massebegriff mit in den Kochtopf; z.B. aus MTWs Erörterungen über irreduzible Masse $M_{ir}$

$A = 16\piM_{ir}^2$ (MTW eq. 33.59) (2)

oder andersherum ist $M_{ir}$ gleich der Masse eines Schwarzschild-Lochs mit Oberfläche $A$; (MTW Box 33.4 it D eq. 2).

Dann sieht

$M^2 = {\left(M_{ir} + \frac{Q^2}{4 M_{ir}} \right )}^2 + \frac{S^2}{4 M_{ir}^2}$ (MTW eq. 33.60) (3)

recht freundlich aus, und die Ladung $Q$ setzen wir für unsere Toy-Modellbildung ceteris paribus am besten als als $=0$ an; somit

$M^2 = {M_{ir}^2} + \frac{S^2}{4 M_{ir}^2}$ (4)

---

Jetzt fragt man sich, wie $J$ und $S$ korrelieren, und wat för een Dampfmaschien $S$ eigentlich ist.

In Ermangelung tieferer Weisheit vermute ich erstmal

$J^2 = S^2 = S^{\mu\nu} S_{\mu\nu}$,

wobei ich unter $S^{\mu\nu}$ unser Sorgenkind aus viewtopic.php?f=7&t=945 verstehe; diesmal natürlich für "das" (i.e. jeweils eines der kollidierenden und das finale!) SL selbst.

Zudem müssen wir die Massebegriffe aus A) und B) zusammenbringen; da wir in A) Ausdrücke für Radien und in B) Ausdrücke für eine Oberfläche haben, könnte sich damit in natürlicher Weise die Nahtstelle ergeben.

¹ umgeschrieben auf +2 Konvention.
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langlebiges Kaon

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Beitrag So 28. Feb 2016, 15:18

Re: Zur Modellierung von colliding Kerr-Binaries

Dann braucht man ein paar Tools

${r_{k\pm}}^2 = \frac{1}{4} \left({r_s}^2 \pm 2 r_s \sqrt{r_s^2 - 4a^2}) + {r_s}^2 - 4a^2\right) = \frac{1}{2} \left({r_s}^2 \pm r_s \sqrt{r_s^2 - 4a^2} \right) - a^2$ (1)
$r_s {r_{k\pm}} = \frac{1}{2} \left({r_s}^2 \pm r_s \sqrt{r_s^2 - 4a^2} \right) $ (2),

und somit

$r_s {r_{k\pm}} = {r_{k\pm}}^2 + a^2$ (3),

und damit integriert sich die Kerr-Metrik (7613.1) butterweich über $\left. \omega^{\theta} \wedge \omega^{\phi}\right|_{r = r_{k+}}$ ab, nämlich mit

$\left.\mathrm{d}\Omega^2|_{r = r_{k+}} = \rho^{2} \mathrm{d}\theta^{2} + \left( {r_{k+}}^{2} + a^{2} + \frac{r_{s} r_{k+} a^{2}}{\rho^{2}} \sin^{2} \theta \right) \sin^{2} \theta \mathrm{d}\phi^{2}= \rho^{2} \mathrm{d}\theta^{2} + \left( r_{k+}^{2} + a^{2} + \frac{(r_{k+}^{2} + a^{2}) a^{2}}{\rho^{2}} \sin^{2} \theta \right) \sin^{2} \theta \mathrm{d}\phi^{2}$ (4)

hat man für die Fläche $A$ des (äusseren) Ereignishorizonts bei $r_{k+}$:

$A = \oint_{r = r_{k+}}\omega^{\theta} \wedge \omega^{\phi} = \left. \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \sqrt{g_{\phi\phi}g_{\theta\theta}}\, \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\phi \right|_{r = r_{k+}}$
$ = 2\pi \int_{0}^{\pi} \sqrt{\left( r_{k+}^{2} + a^{2} \right) {\rho}^2+ (r_{k+}^{2} + a^{2}) a^{2}\sin^{2} \theta}\, \sin{\theta} \mathrm{d}\theta$
$ = 2\pi \int_{0}^{\pi} \sqrt{\left( r_{k+}^{2} + a^{2} \right) \left(r_{k+} ^2 + a^2 \cos^2 \theta \right)+ (r_{k+}^{2} + a^{2}) a^{2}\sin^{2} \theta}\, \sin{\theta} \mathrm{d}\theta$
$ = 2\pi \left(r_{k+}^{2} + a^{2}\right) \int_{0}^{\pi} \sin{\theta} \mathrm{d}\theta$
$ = 4\pi \left(r_{k+}^{2} + a^{2}\right)$ (5)

--

Wald gibt zudem dankenswerterweise in seiner eq (12.4.10) die Inversion von
$M^2 = {M_{ir}^2} + \frac{J^2}{4 M_{ir}^2}$ (7613.4)
an
$M_{ir}^2 = \frac{1}{2}\left({M}^2} + \sqrt{M^4 - J^2}\right)$ (Wald eq. 12.4.10) (6),

und wenn man das auf $r_s$ und $a$ umschreibt, hat man

$M_{ir}^2 = \frac{1}{8}\left({r_s}^2} + r_s \sqrt{{r_s}^2 - 4a^2}\right)$, (7)

und zusammen mit (2) und (3)

$M_{ir}^2 = \frac{1}{4} \left(r_{k+}^{2} + a^{2}\right) $, (8)

und mit (5) somit

$A = \oint_{r = r_{k+}}\omega^{\theta} \wedge \omega^{\phi} = 16\pi M_{ir}^2$. (9)

also MTW eq. 33.59 (unsere(7613.2)). $\Box$

---

Somit haben wir einen zwischen Wald, MTW (und z.B. Wikipedia) durchgängigen Massebegriff für die Masse $M$, die in der Kerr-Metrik angesetzt wird, nämlich

$M^2 = {M_{ir}^2} + \frac{S^2}{4 M_{ir}^2}$ (10)

Da wirkt also nicht nur die "Ruhemasse", sondern auch das Äquivalent der Rotationsenergie wirkt gravitativ.
Der rechte Summand in (10) ist sozusagen das allgemein-relativistische Analogon zur klassischen Rotationsenergie
$mr^2 {\dot{\phi}}^2 = \frac{L^2}{2mr^2}$.
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