rotierender Stab in gekrümmter Raumzeit


Die Relativitätstheorie basiert auf dem Relativitätsprinzip von Galileo. Hier ist Raum, Fragen zur Relativität zur diskutieren.

Proton

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Beitrag Di 5. Apr 2016, 10:29

Re: rotierender Stab in gekrümmter Raumzeit

Danke für die Info, ich habe einen Verdacht, was den Vorzeichenfehler betrifft, muß das bei Gelegenheit nochmal durchgehen.

Anti-Neutron

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Beitrag Di 5. Apr 2016, 20:12

Bernhard hat geschrieben:Über die Formel von Schrödinger erhält man die folgenden Ergebnisse für die beiden Fälle u -> o und o -> u:

$f_u/f_o=(1\pm\sqrt{r_S/r_u})/(1\pm\sqrt{r_S/r_o})$

Hallo Timm,

ich habe das Szenario jetzt zusätzlich auch gemäß "Deinem" Rechenweg gerechnet und dabei festgestellt, dass ich mich oben auch verrechnet hatte (Flüchtigkeitsfehler). Das korrekte Ergebnis lautet:

$f_o/f_u=\frac{1\mp\sqrt{r_S/r_u}}{1\mp\sqrt{r_S/r_o}}$

Das obere Vorzeichen gilt nachwievor für den Fall u -> o. Bei dem Quotienten der Frequenzen habe ich das $f_o$ in den Zähler gestellt, damit man bei dem Fall u -> o etwas leichter die obere Frequenz in Abhängigkeit von der unteren Frequenz berechnen kann. Da wir hier eine Rotverschiebung erwarten muss die rechte Seite der Gleichung mit dem oberen Vorzeichen eine Zahl kleiner als Eins ergeben, was bei $r_u = 2 r_S$ und $r_o = 3 r_S$ auch zutrifft.

Die Rotverschiebung ist beim Fall o -> u, so wie von Dir vermutet, kleiner, als beim Fall u -> o.

Wenn Du willst, kann ich die Rechnung via Doppler-Formel hier aufschreiben.
Freundliche Grüße, B.

Proton

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Beitrag Mi 6. Apr 2016, 17:58

Re: rotierender Stab in gekrümmter Raumzeit

Hallo Bernhard,

ich habe meine Notizen noch nicht genauer durchgesehen, sondern mir mit Deiner zuletzt genannten Formel gerade den Fall $r_u=r_s$ und $r_o=r\infty$ angeschaut. Da finde ich für
o->u: $f_o/f_u=2$. Dieser Wert ist das rotverschobene $\lambda$. Damit ist $z=1$, was ich für diesen Fall schon mal früher ausgerechnet hatte, passt also.

und für u->o: $f_o/f_u=0$. Der Beobachter oben sieht aber $\lambda=\infty$. Man muß also offenbar den Kehrwert nehmen. Aber wirklich klar ist mir der Zusammenhang noch nicht.

Anti-Neutron

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Beitrag Mi 6. Apr 2016, 21:59

Timm hat geschrieben:Damit ist $z=1$, was ich für diesen Fall schon mal früher ausgerechnet hatte, passt also.

Aha :) .

und für u->o: $f_o/f_u=0$. Der Beobachter oben sieht aber $\lambda=\infty$. Man muß also offenbar den Kehrwert nehmen. Aber wirklich klar ist mir der Zusammenhang noch nicht.

Damit ist f_o im Grenzwert immer gleich Null. Es ist also eine unendliche Rotverschiebung des Signals von unten, denn eine Rotverschiebung ist ja eine Frequenzverringerung (=Energieabnahme). Passt also auch.
Freundliche Grüße, B.

Proton

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Beitrag Do 7. Apr 2016, 17:29

Re:

Bernhard hat geschrieben:Damit ist f_o im Grenzwert immer gleich Null. Es ist also eine unendliche Rotverschiebung des Signals von unten, denn eine Rotverschiebung ist ja eine Frequenzverringerung (=Energieabnahme). Passt also auch.

Ja, ist klar. Man sieht sieht auch, daß der obere Freifaller den unteren am Ereignishorizont unendlich rotverschoben sieht, auch wenn er noch so knapp hinterher fällt. Mein Fehler übrigens lag in der falschen Zuordnung der Lichtausbreitung.

Um auf Deine Anregung zurück zu kommen, vielleicht wäre der Rechengang für Mitlesende ganz interessant. Für mich mußt Du Dir die Mühe aber nicht machen. Ich habe nach wie vor das Problem, daß mein Explorer Latex im Quantenforum nicht verarbeitet, im PhysicsForums aber wohl?! Ohne i-pad wäre ich ganz aufgeschmissen.

Anti-Neutron

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Beitrag So 10. Apr 2016, 09:35

Timm hat geschrieben:Um auf Deine Anregung zurück zu kommen, vielleicht wäre der Rechengang für Mitlesende ganz interessant.

Hallo Timm,

damit wir das Zwischenthema hier abschließen können, beschreibe ich nochmal den Rechenweg, den wir beide benutzt haben:

1) Man setzt die Geschwindigkeit gemessen in der Eigenzeit der Quelle in die Formel für den Dopplereffekt ein. Diese lautet $f' = f \sqrt{\frac{c-v}{c+v}}$ mit der absoluten Geschwindigkeit v. So gelangt man von der Eigenfrequenz der Quelle zu der Frequenz, die ein unendlich weit entfernter Beobachter für den Ort der Quelle berechnen würde.

2) Die bei 1) theoretisch berechnete Frequenz erfährt entlang des Weges von Quelle zu Empfänger eine gravitative Frequenzverschiebung, gemäß der oben angegebenen Formel.

3a) Berechnet man den Fall u->o, so sieht der Empfänger oben eine abschließende Blauverschiebung des Signals, gemäß $f'=f\sqrt{\frac{c+v_o}{c-v_o}}$ mit der absoluten Geschwindigkeit $v_o$
3b) Berechnet man den Fall o->u, so sieht der Empfänger unten eine abschließende Rotverschiebung des Signals, gemäß $f'=f\sqrt{\frac{c-v_u}{c+v_u}}$ mit der absoluten Geschwindigkeit $v_u$
Freundliche Grüße, B.

Proton

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Beitrag So 10. Apr 2016, 15:26

Re:

Bernhard hat geschrieben:damit wir das Zwischenthema hier abschließen können, beschreibe ich nochmal den Rechenweg, den wir beide benutzt haben:


Finde ich gut. Falls das tatsächlich jemand nachrechnen möchte, man braucht binomische Formeln, dann kürzt sich alles weg, bis auf' das Ergebnis. :)

Proton

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Beitrag Sa 23. Apr 2016, 18:03

Re: rotierender Stab in gekrümmter Raumzeit

Zurück zum Thema. Ich möchte ich den starren Stab frei fallend in FRW- und in statischer SS-Raumzeit vergleichen. Zunächst mal, wo ist der Stab mitbewegt?

In der FRW-RZ betrachten wir den Schwerpunkt des Stabes als mitbewegt. Aber wie ist das in der SS-RZ? Der Stab fällt mit seiner Längsachse in radialer Richtung. Wenn ich es richtig sehe, ist die lokale Relativgeschwindigkeit zu frei fallenden Testpartikeln am unteren Ende größer, als am oberen. Unten sollten diese das Stabende überholen, oben sollte es umgekehrt sein. Wo ist der mitbewegten Punkt relativ zur Stabmitte? Ich vermute ihn eher oberhalb. Und wie würde man den relativen Abstand zur Stabmitte als Funktion von $r_S/r$ rechnen?

Ich

Anti-Proton

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Beitrag Mo 25. Apr 2016, 13:07

Re: rotierender Stab in gekrümmter Raumzeit

Ich habe beim ersten Überlegen den Eindruck gewonnen, dass diese harmlose Frage so gut wie unlösbar ist, allein schon was die Definition von "starr" angeht. Am ehesten kommt man ihr wohl über eine Reihenentwicklung nahe, wenn man also einen "kleinen" Stab betrachtet. Allgemein tippe ich (ziemlich zuversichtlich) darauf, dass kein einziger Punkt des Stabs frei fällt. In der Reihenentwicklung würde sich das so äußern, dass der frei fallende Punkt von der Position des Stabes abhängig ist.
Intuitiv sehe ich den frei fallenden Punkt aber eher in der unteren Hälfte.

Proton

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Beitrag Mo 25. Apr 2016, 19:52

Re: rotierender Stab in gekrümmter Raumzeit

Ich hat geschrieben: Allgemein tippe ich (ziemlich zuversichtlich) darauf, dass kein einziger Punkt des Stabs frei fällt. In der Reihenentwicklung würde sich das so äußern, dass der frei fallende Punkt von der Position des Stabes abhängig ist.
Intuitiv sehe ich den frei fallenden Punkt aber eher in der unteren Hälfte.

Den ersten Satz verstehe ich nicht. Wenn "kein einziger Punkt des Stabs frei fällt" würde doch bedeuten, daß er überall entweder schneller oder langsamer fällt, als die über seine gesamte Länge verteilten frei fallenden Testpartikel neben ihm.

Längs des Stabes seien Beobachter lokal in Ruhe zu ihm aufgereiht, die zu einem bestimmten Zeitpunkt Testpartikel losgelassen. Nun vermute ich, daß sich nicht alle entweder nach oben, oder nach unten entfernen, sondern es einen Punkt gibt, an dem das losgelassene Partikel kurzzeitig relativ zum Stab ruht. Dies wäre der zu diesem Zeitpunkt mitbewegte Punkt auf dem Stab. Tiefer im Gravitationsfeld, am unteren Ende des Stabes, sollte die Geschwindigkeit, mit der sich die Testpartikel nach unten entfernen, größer sein, als sie sich am oberen Ende nach oben entfernen. Habe ich da einen Denkfehler? Falls es so ist, erschiene der mitbewegte Punkt in der oberen Hälfte nach meiner Vorstellung plausibel.

Ich

Anti-Proton

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Beitrag Mo 25. Apr 2016, 20:24

Re: rotierender Stab in gekrümmter Raumzeit

Timm hat geschrieben:Längs des Stabes seien Beobachter lokal in Ruhe zu ihm aufgereiht, die zu einem bestimmten Zeitpunkt Testpartikel losgelassen. Nun vermute ich, daß sich nicht alle entweder nach oben, oder nach unten entfernen, sondern es einen Punkt gibt, an dem das losgelassene Partikel kurzzeitig relativ zum Stab ruht. Dies wäre der zu diesem Zeitpunkt mitbewegte Punkt auf dem Stab.
Doch, das ist schon so. Nur ist dieser Punkt im nächsten Moment schon ein anderer, so dass keiner der Punkte über länger als "einen Moment" frei fällt.
Tiefer im Gravitationsfeld, am unteren Ende des Stabes, sollte die Geschwindigkeit, mit der sich die Testpartikel nach unten entfernen, größer sein, als sie sich am oberen Ende nach oben entfernen. Habe ich da einen Denkfehler? Falls es so ist, erschiene der mitbewegte Punkt in der oberen Hälfte nach meiner Vorstellung plausibel.
Ja, die Beschleunigung wäre unten größer.Wenn du dir die Beschleunigungen über die Position am Stab aufgetragen denkst (links sei im Diagramm das untere Ende, rechts das obere, negative Geschwindigkeit sei Richtung Singularität), dann ist die Beschleunigungsverteilung also keine Gerade, sondern links steiler als rechts. Der unbeschleunigte Punkt zeichnet sich dadurch aus, dass der Stab auf ihn keine Nettokraft bewirkt. D.H. das Integral über die Beschleunigungsveteilung ist Null. Da die Kurve links steiler ist, kriegt man dort im Integral schneller dieselbe Fläche zusammen als rechts, der frei fallende Punkt ist also links von der Mitte (=weiter unten).

Proton

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Beitrag Di 26. Apr 2016, 10:21

Re: rotierender Stab in gekrümmter Raumzeit

Ich hat geschrieben:
Timm hat geschrieben:Längs des Stabes seien Beobachter lokal in Ruhe zu ihm aufgereiht, die zu einem bestimmten Zeitpunkt Testpartikel losgelassen. Nun vermute ich, daß sich nicht alle entweder nach oben, oder nach unten entfernen, sondern es einen Punkt gibt, an dem das losgelassene Partikel kurzzeitig relativ zum Stab ruht. Dies wäre der zu diesem Zeitpunkt mitbewegte Punkt auf dem Stab.
Doch, das ist schon so. Nur ist dieser Punkt im nächsten Moment schon ein anderer, so dass keiner der Punkte über länger als "einen Moment" frei fällt.

Ok, dann war "kurzzeitig" nicht ganz verkehrt, aber ungenau.
Der unbeschleunigte Punkt zeichnet sich dadurch aus, dass der Stab auf ihn keine Nettokraft bewirkt. D.H. das Integral über die Beschleunigungsveteilung ist Null. Da die Kurve links steiler ist, kriegt man dort im Integral schneller dieselbe Fläche zusammen als rechts, der frei fallende Punkt ist also links von der Mitte (=weiter unten).

Ja, leuchtet mir ein.
Während der Stab fällt, nimmt die Beschleunigung am unteren Ende schneller zu, als am oberen. Das heiß doch, daß der unbeschleunigte Punkt entlang des Stabes nach unten wandert, oder?

Ich

Anti-Proton

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Beitrag Di 26. Apr 2016, 12:22

Re: rotierender Stab in gekrümmter Raumzeit

Ja, das ist auch meine Überlegung.

Proton

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Beitrag Di 26. Apr 2016, 16:47

Re: rotierender Stab in gekrümmter Raumzeit

Wenn ich mir die Geschwindigkeiten an den Stabenden anschaue, komme ich zu seltsamen Ergebnissen.

Ein freies Partikel fällt an einem stationären Beobachter bei $r_u$ mit $v_u=-\sqrt(r_S/r_u)$ vorbei. Demnach erwarte ich für das untere, bzw. obere Stabende die Relativgeschwindigkeiten zum freien Partikel $v_u+x$, bzw $v_o-y$. Das hieße aber doch, daß das untere, bzw. obere Ende des fallenden (frei lasse ich weg) Stabes den Ereignishorizont mit $v_u<c$, bzw. mit $v_o>c$ überquert (es sei denn $x$ und $y$ gehen bei $r=r_S$ gegen Null), was aber wegen der unendlich großen Beschleunigung für $r=r_S$ nicht sein kann.
Bitte kritisieren, falls nötig.

Die Berechnung von $x$ und $y$ als Funktion von $r_u$ und $r_o$ würde mich interessieren. Wie würde man da im Prinzip vorgehen?

Anti-Neutron

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Beitrag Mi 27. Apr 2016, 06:18

Timm hat geschrieben:Ein freies Partikel fällt an einem stationären Beobachter bei $r_u$ mit $v_u=-\sqrt{r_S/r_u}$ vorbei.

Hallo Timm,

ich habe die Formel mal korrigiert und möchte dazu noch erwähnen, dass diese Geschwindigkeit hier mit der "Uhr" des fallenden Partikels gemessen wird und für den stationären Beobachter erst umgerechnet werden müsste.

Bei dieser Thematik muss man die Beobachter peinlichst genau trennen, weil jeder Beobachter seine eigene Weltlinie und damit auch seinen eigenen Zeitmaßstab hat.
Freundliche Grüße, B.
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