rotierender Stab in gekrümmter Raumzeit


Die Relativitätstheorie basiert auf dem Relativitätsprinzip von Galileo. Hier ist Raum, Fragen zur Relativität zur diskutieren.

langlebiges Kaon

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Beitrag Di 8. Mär 2016, 18:48

Re: rotierender Stab in gekrümmter Raumzeit

FLRW?

Sind wir denn eigentlich mit Schwarzschild schon insgesamt durch?
Old MacDonald had a form
$e_i\,\wedge\,e_i = 0$
(N.N. on Physics Forums)

Proton

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Beitrag Di 8. Mär 2016, 19:09

Re: rotierender Stab in gekrümmter Raumzeit

Solkar hat geschrieben:FLRW?

Sind wir denn eigentlich mit Schwarzschild schon insgesamt durch?

Ich denke nicht, wobei ich allerdings den Faden verloren habe, welche Rechnungen ihr noch vor hattet.

Bernhard, wäre es möglich den FRW Teil in einen neuen Thread zu verlagern? Damit's keinen Kuddelmuddel gibt.

Anti-Neutron

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Beitrag Di 8. Mär 2016, 20:04

Timm hat geschrieben:Bernhard, wäre es möglich den FRW Teil in einen neuen Thread zu verlagern? Damit's keinen Kuddelmuddel gibt.

Rotierender Stab in expandierender Raumzeit: viewtopic.php?f=7&t=950
Freundliche Grüße, B.

Proton

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Beitrag Mi 9. Mär 2016, 09:22

Re:

Bernhard hat geschrieben:
Timm hat geschrieben:Bernhard, wäre es möglich den FRW Teil in einen neuen Thread zu verlagern? Damit's keinen Kuddelmuddel gibt.

Rotierender Stab in expandierender Raumzeit: viewtopic.php?f=7&t=950

Danke!

Proton

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Beitrag Mi 30. Mär 2016, 17:18

Re: Re:

Timm hat geschrieben:Ich setzte in die relativistische Doppler Frequenzverschiebung $f'/f$, mit der der statische Beobachter bei $r$ das an ihm vorbeifallende Objekt sieht, $v=\sqrt{r_S/r}$ ein.
Das multipliziere ich mit der gravitativen Frequenzverschiebung $f'/f=\sqrt{1-r_S/r}$ mit der der Beobachter im Unendlichen den statischen Beobachter sieht und erhalte einen Ausdruck, der sich mittels binomischer Formeln zu $f'/f=1-\sqrt{r_S/r}=d\tau/dt$ vereinfachen läßt.


Bernhard hat geschrieben:
Timm hat geschrieben:Wie Du gesehen hast, habe ich das in meiner letzten Post verwendet.

Ja, ich hatte das schon vorher "beargwöhnt" und ich habe starke Zweifel, ob man von der Rotverschiebung direkt auf den Dilatationsfaktor schließen sollte. Das birgt meiner Meinung nach viele Fehlermöglichkeiten, weil es für die Rotverschiebung fest vorgefertigte Formeln gibt, die speziell die Lichtausbreitung berücksichtigen. TomS hat hier im Forum dazu mal ein sehr brauchbares Paper von Dieter Brill verlinkt, das den allgemeinen Fall sehr übersichtlich beschreibt.

Bei meiner Berechnung des Dilatationsfaktors kann ich auch jetzt, ehrlich gesagt, keinen Fehler entdecken. Obige Formel koppelt die Eigenzeit des Freifallers mit der Zeit eines stationären, unendlich weit enterfenten Beobachters. Vielleicht liegt ja auch da ein Unterschied zu Deiner Rechnung?

Nur der Vollständigkeit halber: Kein Wunder, daß wir zu unterschiedlichen Ergebnissen kamen. Ich hatte die Rotverschiebung und Du die Zeitdilatation berechnet. Die Gleichsetztung mit der Zeitdilatation hätte ich besser unterlassen.
Das paper von Dieter Brill kenne ich nicht. Mein momentaner Stand ist der, daß die Begründung für die gravitative Zeitdilatation nicht der Energiegewinn/verlust des Photons (obwohl's passt), sondern der zeitlich konstante Unterschied des Gravitationspotentials ist. Demnach stimmen Zeitdilatation und Frequenzverschiebung nicht überein, sobald kinetische Effekte im Spiel sind, Beispiel Freifaller. Eine Aufdröselung der Rotverschiebung in einen gravitativen und einen kinematischen Anteil ist dann relativ müßig und Sache der Interpretation. Deshalb halte ich es für irreführend und entgegen der Definition der gravitativen Zeitdilatation, wenn von kosmologischer Zeitdilatation die Rede ist (wobei natürlich klar ist, was gemeint ist). Oder siehst Du das anders?
Wie sieht die Verallgemeinerung nach Brill aus?

Anti-Neutron

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Beitrag Do 31. Mär 2016, 08:10

Hallo Timm,

Timm hat geschrieben:Deshalb halte ich es für irreführend und entgegen der Definition der gravitativen Zeitdilatation, wenn von kosmologischer Zeitdilatation die Rede ist (wobei natürlich klar ist, was gemeint ist). Oder siehst Du das anders?

den Begriff "kosmologische Zeitdilatation" halte ich auch für relativ nichtssagend und gefährlich. Man müsste aber dazu auch sehen, in welchem Kontext das verwendet wird.

Wie sieht die Verallgemeinerung nach Brill aus?

Das habe ich aktuell nicht zu 100% im Kopf. Es gibt da ein Skalarprodukt zwischen Vierergeschwindigkeit von Quelle, bzw. Empfänger und dem Tangentialvektor der lichtartigen Geodäte, welche beide verbindet. Dieses Skalarprodukt berücksichtigt den Dopplereffekt. Der Tangentialvektor wird vom Sender zum Empfänger parallel verschoben und berücksichtigt damit die gravitative Zeitdilatation. Wenn es schnell gehen soll, empfehle ich die Nationallizenz der DFG. Damit ist dieses Paper für jeden deutschen (?) Staatsbürger zugänglich.
Freundliche Grüße, B.

Proton

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Beitrag Fr 1. Apr 2016, 16:12

Re: rotierender Stab in gekrümmter Raumzeit

Danke, Bernhard, dürfte für mich etwas zu technisch sein. Ich begnüge mich erst mal mit der qualitativen Unterscheidung, wie im letzten Beitrag angedeutet. Dem hast Du nicht widersprochen.

Anti-Neutron

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Beitrag Fr 1. Apr 2016, 18:07

Timm hat geschrieben:Ich begnüge mich erst mal mit der qualitativen Unterscheidung, wie im letzten Beitrag angedeutet.

Hallo Timm,

die Aufteilung in einen kinematischen und gravitativen Teil ist genau richtig und entspricht der Formel aus dem Brill-Paper, die ursprünglich eigentlich von E. Schrödinger angegeben wurde. Um die Rotverschiebung zu berechnen, benötigt man zuerst die Weltlinie des Lichtstrahles (gravitativer Anteil) und berechnet damit dann den Dopplereffekt beim Sender und Empfänger (kinematischer Anteil).

Das Brill-Paper hatte TomS zuerst in diesem Thema: viewtopic.php?f=7&t=597 verlinkt. Dort wurde die Formel auch relativ intensiv diskutiert und angewendet.
Freundliche Grüße, B.

Proton

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Beitrag So 3. Apr 2016, 16:25

Re: rotierender Stab in gekrümmter Raumzeit

Hallo Bernhard,

wir hatten den freien Fall, Frequenzverschiebung und Faktor Zeitdilatation, mit dem Beobachter im Unendlichen abgehandelt. Der Vollständigkeitshalber wäre es ganz interessant sich noch beides mit 2 zeitlich versetzen Freifallern (aus dem Unendlichen) bei $r_o$ und $r_u$ anzusehen. Ich schätze, der obere sieht den unteren stärker rotverschoben als umgekehrt. Und unabhängig vom radialen Abstand sollte die Rotverschiebung für $r_u=r_S$ divergieren.
Ich versuche das mal mittels Dopplerverschiebungen kombiniert mit der gravitativen Verschiebung zweier stationärer Beobachter bei $r_o$ und $r_u$ hinzukriegen, zunächst für den Fall, daß der untere Freifaller Sender ist. Falls Du Lust hast, wie gehabt mit den Gullstrand-Painleve-Koordinaten den Zeitdilatationsfaktor zu berechen, könnte ich die Nagelprobe machen indem ich die transversale Dopplerverschiebung einsetze.

Grüße, Timm

Den link zu dem Brill paper habe ich in diesem riesigen Thread leider nicht gefunden.

Anti-Neutron

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Beitrag So 3. Apr 2016, 21:19

Timm hat geschrieben:Ich versuche das mal mittels Dopplerverschiebungen kombiniert mit der gravitativen Verschiebung zweier stationärer Beobachter bei $r_o$ und $r_u$ hinzukriegen, zunächst für den Fall, daß der untere Freifaller Sender ist.

Hallo Timm,

zu so einem ähnlichen Fall gab es 2010 mal eine ziemlich lange, aber interessante Diskussion auf astronews.com. Für die Geschwindigkeit des Freifallers wurde da der Ausdruck $v=c\sqrt{r_S/r}$ verwendet und in die Formel für den relativistischen Dopplereffekt eingesetzt. Man muss dazu noch wissen, dass diese Geschwindigkeit mit der Borduhr des Freifallers gemessen wird, damit es bei der Interpretation keine Schwierigkeiten gibt. Für die gravitative Rotverschiebung gilt: $f_o/f_u = \sqrt{(1-r_S/r_u)/(1-r_S/r_o)}$. Probier mal aus, ob Du damit brauchbare Ergebnisse bekommst.

Falls Du Lust hast, wie gehabt mit den Gullstrand-Painleve-Koordinaten den Zeitdilatationsfaktor zu berechen, könnte ich die Nagelprobe machen indem ich die transversale Dopplerverschiebung einsetze.

Gullstrand-Painleve-Koordinaten braucht man da nicht. Ich möchte es lieber mit der Formel von Schrödinger in Schwarzschildkoordinaten überprüfen.
Freundliche Grüße, B.

Proton

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Beitrag Mo 4. Apr 2016, 09:14

Re:

Bernhard hat geschrieben: Für die gravitative Rotverschiebung gilt: $f_o/f_u = \sqrt{(1-r_S/r_u)/(1-r_S/r_o)}$. Probier mal aus, ob Du damit brauchbare Ergebnisse bekommst.

Falls Du Lust hast, wie gehabt mit den Gullstrand-Painleve-Koordinaten den Zeitdilatationsfaktor zu berechen, könnte ich die Nagelprobe machen indem ich die transversale Dopplerverschiebung einsetze.

Gullstrand-Painleve-Koordinaten braucht man da nicht. Ich möchte es lieber mit der Formel von Schrödinger in Schwarzschildkoordinaten überprüfen.

Passt, dieses Ergebnis hatte ich gestern auch, mit der Vorgehensweise Doppler Blauverschiebung bei $r_o$ kombiniert mit der gravitativen Rotverschiebung $r_o$ zu $r_u$ und dies kombiniert mit der Doppler Rotverschiebung bei $r_u$. Als nächstes kommt dasselbe mit der transversalen Zeitdilatation. Kann ein bißchen dauern, bin unterwegs.

Proton

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Beitrag Mo 4. Apr 2016, 10:05

Re: rotierender Stab in gekrümmter Raumzeit

Falls ich mich auf die Schnelle nicht verrechnet habe, erhalte ich $d\tau_u/d\tau_o=(1-r_S/r_u)/(1-r_S/r_o)$
und für die Frequenzverschiebung $f_u/f_o=(1-\sqrt{r_S/r_u})/(1-\sqrt{r_S/r_o})$

Anti-Neutron

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Beitrag Mo 4. Apr 2016, 18:56

Das Ergebnis sieht schon mal gut aus. In welcher Richtung soll der Lichtstrahl laufen? Von unten nach oben oder umgekehrt?
Freundliche Grüße, B.

Proton

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Beitrag Mo 4. Apr 2016, 21:11

Re:

Bernhard hat geschrieben:Das Ergebnis sieht schon mal gut aus. In welcher Richtung soll der Lichtstrahl laufen? Von unten nach oben oder umgekehrt?

Sender ist der untere Freifaller. Jetzt bin ich auf den umgekehrten Lichtweg neugierig, da erwarte ich wie erwähnt eine kleinere Rotverschiebung.

Anti-Neutron

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Beitrag Mo 4. Apr 2016, 22:45

Timm hat geschrieben:Sender ist der untere Freifaller.

Dann ist das Minus-Zeichen in Zähler und Nenner leider falsch, wie man mit dem einfachen Beispiel $r_u = 2 r_S$ und $r_o = 3 r_S$ sofort nachrechnen kann. In diesem Fall hat man mit Sicherheit eine Rotverschiebung des Signals beim Empfänger. Zur Erinnerung: Der untere Freifaller fällt schneller und entfernt sich damit vom Empfänger.

Über die Formel von Schrödinger erhält man die folgenden Ergebnisse für die beiden Fälle u -> o und o -> u:

$f_u/f_o=(1\pm\sqrt{r_S/r_u})/(1\pm\sqrt{r_S/r_o})$

Das obere Vorzeichen steht für den Lichtstrahl nach außen, also von unten nach oben u -> o. Das untere Vorzeichen steht für den Lichtstrahl von oben nach unten. In diesem Fall sieht der untere Faller das Signal ebenfalls rotverschoben, weil die Geschwindigkeitsdifferenz (scheinbar) mehr bringt, als die gravitative Blauverschiebung.
Freundliche Grüße, B.
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