rotierender Stab in gekrümmter Raumzeit


Die Relativitätstheorie basiert auf dem Relativitätsprinzip von Galileo. Hier ist Raum, Fragen zur Relativität zur diskutieren.

Proton

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Beitrag Mi 27. Apr 2016, 09:10

Re:

Bernhard hat geschrieben:
Timm hat geschrieben:Ein freies Partikel fällt an einem stationären Beobachter bei $r_u$ mit $v_u=-\sqrt{r_S/r_u}$ vorbei.

Hallo Timm,

ich habe die Formel mal korrigiert und möchte dazu noch erwähnen, dass diese Geschwindigkeit hier mit der "Uhr" des fallenden Partikels gemessen wird und für den stationären Beobachter erst umgerechnet werden müsste.

Bei dieser Thematik muss man die Beobachter peinlichst genau trennen, weil jeder Beobachter seine eigene Weltlinie und damit auch seinen eigenen Zeitmaßstab hat.

Hallo Bernhard, ich verstehe nicht, was Du damit sagen willst. Diese radiale Geschwindigkeit des frei fallenden Partikels misst der stationäre Beobachter auf der Schale $S$ , er misst ein $dr_S/dt_S$.

Hingegen misst dieser stationäre Beobachter das vorbei fallende untere Stabende mit einer dem Betrag nach kleineren Geschwindigkeit, vermute ich. Hier hatte ich mich in meiner letzten Post mit der Erwähnung Relativgeschwindigkeit Stabende zum freien Partikel, wie ich gerade sehe, falsch ausgedrückt. Was aber an den vermuteten Konsequenzen beim Überqueren der Stabende des EH nichts ändert.
Zuletzt geändert von Timm am Mi 27. Apr 2016, 09:41, insgesamt 1-mal geändert.

Anti-Neutron

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Beitrag Mi 27. Apr 2016, 09:40

Timm hat geschrieben:Diese radiale Geschwindigkeit des frei fallenden Partikels misst der stationäre Beobachter auf der Schale $S$ , er misst ein $dr_S/dt_S$.

Das mag so sein, aber die zugehörige Formel passt nicht.
Freundliche Grüße, B.

Proton

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Beitrag Mi 27. Apr 2016, 09:53

Re:

Bernhard hat geschrieben:
Timm hat geschrieben:Diese radiale Geschwindigkeit des frei fallenden Partikels misst der stationäre Beobachter auf der Schale $S$ , er misst ein $dr_S/dt_S$.

Das mag so sein, aber die zugehörige Formel passt nicht.

Meine Referenz ist Taylor&Wheeler in "Exploring Black Holes", Kapitel Plunging. Was stimmt nicht, bzw. passt nicht?

Anti-Neutron

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Beitrag Mi 27. Apr 2016, 10:07

Timm hat geschrieben:Meine Referenz ist Taylor&Wheeler in "Exploring Black Holes", Kapitel Plunging. Was stimmt nicht, bzw. passt nicht?

Dann stimmt die Formel eventuell zufälligerweise mit der Formel für die Uhr im Bezugssystem des fallenden Partikels überein (?). Habe leider zu wenig Zeit, um das konkret zu überprüfen.
Freundliche Grüße, B.

Ich

Anti-Proton

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Beitrag Mi 27. Apr 2016, 10:31

Re:

Bernhard hat geschrieben:Dann stimmt die Formel eventuell zufälligerweise mit der Formel für die Uhr im Bezugssystem des fallenden Partikels überein (?). Habe leider zu wenig Zeit, um das konkret zu überprüfen.
Ja, $dr_S/dt_S = dr/d\tau$. Das passt schon.

Timm hat geschrieben:Ein freies Partikel fällt an einem stationären Beobachter bei $r_u$ mit $v_u=-\sqrt{dr_S/dr_u}$ vorbei. Demnach erwarte ich für das untere, bzw. obere Stabende die Relativgeschwindigkeiten zum freien Partikel $v_u+x$, bzw $v_o-y$. Das hieße aber doch, daß das untere, bzw. obere Ende des fallenden (frei lasse ich weg) Stabes den Ereignishorizont mit $v_u<c$, bzw. mit $v_o>c$ überquert (es sei denn $x$ und $y$ gehen bei $r=r_S$ gegen Null), was aber wegen der unendlich großen Beschleunigung für $r=r_S$ nicht sein kann.
[Zitat bearbeitet]
Du musst relativistisch addieren, dann hat das seine Richtigkeit. Wobei die stationären Koordinaten natürlich grundsätzlich ungeeignet sind, wenn wir den Fall bis über den EH hinaus verfolgen wollen.

Proton

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Beitrag Mi 27. Apr 2016, 13:24

Re: rotierender Stab in gekrümmter Raumzeit

Ja ok.
Mittlerweile denke ich, dass der auf dem Stab nach unten wandernde unbeschleunigte Punkt bei Annäherung des unteren Endes an den EH asyptotisch dieses erreicht (nach der Argumentation mit der Beschleunigungsverteilung). Dann überquert das untere Ende erwartungsgemäß den EH mit c.

Ich

Anti-Proton

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Beitrag Mi 27. Apr 2016, 14:44

Re: rotierender Stab in gekrümmter Raumzeit

Nein, wo dieser Punkt liegt hat mit der Krümmung zu tun und nichts mit dem EH. Signifikante Abweichungen vom Mittelpunkt sind erst zu erwarten, wenn r in der Größenordnung der Stablänge liegt - bei kurzen Stäben also deutlich innerhalb des EH.
Das untere Ende (un jedes andere) überquert den EH deswegen mit c, weil der EH lichtartig ist, sich also nach außen mit c bewegt, wenn man so will. Irgendwelchen lokalen Relativgeschwindigkeiten zum Freifaller ändern daran nichts, c ist bekanntermaßen konstant.

Proton

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Beitrag Mi 27. Apr 2016, 17:27

Re: rotierender Stab in gekrümmter Raumzeit

Ok, danke. Bei Letzterem hätte ich eigentlich selbst drauf kommen müssen.

Anti-Neutron

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Beitrag Mi 27. Apr 2016, 18:08

Ich hat geschrieben:Ja, $dr_S/dt_S = dr/d\tau$. Das passt schon.

So ganz verstehe ich das noch nicht.

Es gilt doch $dt_S \neq d\tau$, weil die eine Uhr im Vergleich zur Anderen ja bewegt ist, bzw. ruht.

Wenn nun $dr_S/dt_S = dr/d\tau$ gilt, so folgt daraus $dr_S \neq dr$ was verwunderlich ist, weil doch in beiden Systemen (stationärer Beobachter bei r_u, bzw. frei fallender Beobachter bei r_u) das gleiche r verwendet wird?
Freundliche Grüße, B.

Ich

Anti-Proton

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Beitrag Mi 27. Apr 2016, 19:11

Re: rotierender Stab in gekrümmter Raumzeit

Das $r_S$ ist eine Eigenlänge, genauso wie $t_S$ eine Eigenzeit ist. Das soll ja die lokale tatsächlich gemessene Geschwindigkeit darstellen und keine Koordinatengeschwindigkeit.

Proton

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Beitrag Sa 30. Apr 2016, 10:43

Re: rotierender Stab in gekrümmter Raumzeit

Würde man die Frequenzverschiebung zwischen den Enden des radial fallenden Stabes analog zu der zwischen den beiden Freifallern (wie weiter oben im thread geübt) berechnen?

Dazu bräuchte man für $r_o$ und $r_u$ die von $\sqrt{r_S/r}$ abweichenden Relativgeschwindigkeiten der Stabenden. Über die Vorzeichen der Abweichungen dürften wir uns einig sein (s. weiter oben). Aber wie berechnet man diese Relativgeschwindigkeiten? Das dürfte keineswegs trivial sein. Dann wäre noch für ein $r_o$ bei gegebener Eigenlänge des Stabes das dazugehörige $r_u$ zu berechnen, vermutlich durch Integration von $d\sigma=dr/\sqrt{1-r_S/r}$.
Sind diese Überlegungen korrekt?

Was läßt sich qualitativ sagen? Zwischen den Freifallern hatten wir für die beiden Lichtwege unterschiedliche Rotverschiebungen festgestellt. Diese müßten beim fallenden Stab wegen der erwähnten Abweichung der Relativgeschwindigkeiten abnehmen. Nun konkurrieren beim Lichtweg von oben nach unten beispielsweise die Blauverschiebungen (gravitativ und Doppler unten) mit der Doppler Rotverschiebung oben (die dem Betrag nach kleiner ist, wie die Doppler Blauverschiebung unten). Resultiert dann insgesamt eine Blauverschiebung? Hängt das etwa von der Länge des Stabes ab, nach der Überlegung, daß bei hinreichender Länge die Rotverschiebung oben vernachlässigbar ist?

Proton

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Beitrag Mo 2. Mai 2016, 10:05

Re: rotierender Stab in gekrümmter Raumzeit

Noch eine Vermutung. Wie wir gesehen haben, gibt es zu jedem Zeitpunkt einen unbeschleunigten Punkt auf dem fallenden Stab. Würde man den kennen, hätte man die gesuchten Relativgeschwindigkeiten an den Stabenden.

Vielleicht liege ich mit meinen Überlegungen auch komplett daneben.

Timm hat geschrieben: Dann wäre noch für ein $r_o$ bei gegebener Eigenlänge des Stabes das dazugehörige $r_u$ zu berechnen, vermutlich durch Integration von $d\sigma=dr/\sqrt{1-r_S/r}$.

Das zumindest ist geklärt.

http://www.physicspages.com/2013/04/05/ ... oordinate/

Integrating this using software we get

$s=\sqrt{r\left(r-r_{s}\right)}+\frac{r_{s}}{2}\ln\left[\sqrt{r\left(r-r_{s}\right)}+r-\frac{r_{s}}{2}\right]+\alpha$ (6)

where ${\alpha}$ is a constant of integration.
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