Trägheitstensor


Hier ist Platz für alle physikalischen Themen, die nicht so recht in die obigen Kategorien passen. Legt hier gerne neue Themen an, bei deren Einordnung ihr unsicher seid. Wir verschieben sie dann an den richtigen Platz.

Anti-Neutrino

Beiträge: 30

Registriert: So 17. Jul 2011, 12:35

Beitrag Sa 20. Okt 2012, 23:45

Trägheitstensor

Der Trägheitstensor J ist ein Tensor zweiter Stufe.
Es gibt 3 Möglichkeiten, wie man diesen Tensor auffassen kann.

1. Als zweifach kovarianten Tensor
Der Trägheitstensor ist dann eine bilineare Abbildung, die zwei Vektoren r und s eine reelle Zahl zuordnet: J(r,s).
Wenn man für beide Vektoren die Winkelgeschwindigkeit w der Drehung einsetzt, erhält man die zweifache Rotationsenergie, also Erot = 1/2 * J(w,w).

2. Als einfach kovarianten und einfach kontravarianten Tensor
Der Trägheitstensor ist dann eine bilineare Abbildung, die einem Vektor r und einer Linearform L eine reelle Zahl zuordnet: J(r,L).
Aus dieser bilinearen Abbildung kann man eine lineare Abbildung gewinnen, die einen Vektor r auf einen anderen Vektor s abbildet: s = J(r).
Wenn man für r wieder die Winkelgeschwindigkeit w einsetzt, ist J(w) der Drehimpuls L der Drehbewegung, also L = J(w).

3. Als zweifach kontravarianten Tensor
Der Trägheitstensor ist dann eine bilineare Abbildung, die zwei Linearformen L und K eine reelle Zahl zuordnet: J(L,K).
Für diese Form des Trägheitstensors kenne ich keine physikalische Interpretation. Gibt es auch für den Trägheitstensor als zweifach kontravarianten Tensor eine physikalische Bedeutung?

Pi-Meson

Beiträge: 183

Registriert: Sa 14. Aug 2010, 11:24

Beitrag Mo 22. Okt 2012, 15:16

Re: Trägheitstensor

Teilchen hat geschrieben:Der Trägheitstensor J ist ein Tensor zweiter Stufe.
Es gibt 3 Möglichkeiten, wie man diesen Tensor auffassen kann.

1. Als zweifach kovarianten Tensor
Der Trägheitstensor ist dann eine bilineare Abbildung, die zwei Vektoren r und s eine reelle Zahl zuordnet: J(r,s).
Wenn man für beide Vektoren die Winkelgeschwindigkeit w der Drehung einsetzt, erhält man die zweifache Rotationsenergie, also Erot = 1/2 * J(w,w).

2. Als einfach kovarianten und einfach kontravarianten Tensor
Der Trägheitstensor ist dann eine bilineare Abbildung, die einem Vektor r und einer Linearform L eine reelle Zahl zuordnet: J(r,L).
Aus dieser bilinearen Abbildung kann man eine lineare Abbildung gewinnen, die einen Vektor r auf einen anderen Vektor s abbildet: s = J(r).
Wenn man für r wieder die Winkelgeschwindigkeit w einsetzt, ist J(w) der Drehimpuls L der Drehbewegung, also L = J(w).

3. Als zweifach kontravarianten Tensor
Der Trägheitstensor ist dann eine bilineare Abbildung, die zwei Linearformen L und K eine reelle Zahl zuordnet: J(L,K).
Für diese Form des Trägheitstensors kenne ich keine physikalische Interpretation. Gibt es auch für den Trägheitstensor als zweifach kontravarianten Tensor eine physikalische Bedeutung?


Eine Unterscheidung zwischen kovarianten und kontravarianten Komponenten macht m.E. in der nichtrelativistischen klassischen Mechanik (in deren Kontext der Trägheitstensor ja diskutiert wird) nicht viel Sinn.

Mir ist übrigens folgende Definition vertrauter:
4. der Trägheitstensor J wird über den Zusammenhang zwischen den Vektoren Drehimpuls L und Winkelgeschwindigkeit w eingeführt: L = J * w .
Da beim starren Körper die Vektoren L und w i.a. nicht parallel sind, ist J ein Tensor 2. Stufe, der i.a. als 3x3 Matrix dargestellt wird.

Anti-Neutrino

Beiträge: 30

Registriert: So 17. Jul 2011, 12:35

Beitrag Mo 22. Okt 2012, 16:18

Das ist gleichwertig

Hallo Hawkwind,

danke für deine Antwort.
Hawkwind hat geschrieben:Eine Unterscheidung zwischen kovarianten und kontravarianten Komponenten macht m.E. in der nichtrelativistischen klassischen Mechanik (in deren Kontext der Trägheitstensor ja diskutiert wird) nicht viel Sinn.
Aha - OK, dann braucht man das also nicht.

Hawkwind hat geschrieben:4. der Trägheitstensor J wird über den Zusammenhang zwischen den Vektoren Drehimpuls L und Winkelgeschwindigkeit w eingeführt: L = J * w .
Da beim starren Körper die Vektoren L und w i.a. nicht parallel sind, ist J ein Tensor 2. Stufe, der i.a. als 3x3 Matrix dargestellt wird.
Das ist genau mein 2. Version: J(w) ist (wenn man ein Koordinatensystem festlegt hat) gerade J * w, also Matrix J multipliziert mit Tripel w. Wenn ich J(w) schreibe, meine ich die lineare Abbildung J, die auf den Vektor w wirkt und dann meine ich das koordinatensystemunabhängig.

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